一道四边形题的多种解法

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1、一道四边形题的多种解法很多问题的解决方法往往不唯一。如果同学们能够善于研究、善于挖掘，往往会发现多种解法，正所谓条条大路通罗马！请看下面一例。已知：如图1，在△ABC中，AB=AC，D为BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB。图1求证：CG=DE+DF。分析：本题要求证的是一条线段等于另外两条线段的和，直接证明有一定的难度，常用的方法是截长补短，因此要考虑添加辅助线，转化为证明两条线段相等。法一：如图1，过点D作DH⊥CG。则四边形DEGH为矩形。∴DE=GH又在△CDF和△DCH中，∠CFD=∠DH

2、C=90°，∠FCD=∠B=∠HDC，CD=CD∴CH=DF∴CG=CH+GH=DE+DF法二：（截长法）如图2，过点E作EM//CD交CG于点M。图2由DE//CG知四边形CDEM是平行四边形。∴DE=CM，EM=CD又在△MGE和△DFC中，∠EGM=∠CFD=90°，∠FCD=∠B=∠GEM，EM=CD∴GM=DF∴CG=CM+GM=DE+DF法三：如图3，过点C作CH⊥ED，交ED的延长线于点H。则四边形CGEH是矩形。∴CG=EH图3又在△DHC和△DFC中，∠CHD=∠CFD=90°，∠FCD=∠B=

3、∠DCH，CD=CD∴CG=EH=DE+DH=DE+DF法四：如图4，延长DE到点M，使DM=CG，并连接MG。则四边形CDMG是平行四边形。图4∴MG=DC又在△MEG和△DFC中，∠GEM=∠CFD=90°，∠FCD=∠B=∠MGE，MG=DC，法五：如图5，过点B作BM⊥FD交FD的延长线于点M，作BH⊥AC交AC于点H。则知四边形BMFH是矩形。图5∴BH=MF又在△BCG和△CBH中，∠BGC=∠CHB=90°，∠GBC=∠BCH，BC=CB∴又在△BDE和△BDM中，∠BED=∠BMD=90°，∠EB

4、D=∠ACB=∠DBM，BD=BD，∴∴DG=BH=MF=MD+DF=DE+DF法六：（补短法）如图6，过点B作BM⊥FD交FD的延长线于点M，并过点C作CN⊥BM交BM的延长线于点N。则知四边形MNCF是矩形。图6∴CN=FM又在△BCG和△BCN中，∠BGC=∠BNC=90°，∠GBC=∠ACB=∠CBN，BC=BC∴CG=CN又在△BDE和△BDM中，∠BED=∠BMD=90°，∠EBD=∠ACB=∠DBM，BD=BD∴CG=CN=MF=MD+DF=DE+DF法七：如图7，过点B作BH⊥AC交AC于点H，过

5、点D作DM⊥BH交BH于点M。则四边形DMHF是矩形。图7∴DF=MH又在△BCG和△CBH中，∠BGC=∠CHB=90°，∠GBC=∠HCB，BC=BC∴BH=CG又在△BDE和△DBM中，∠BED=∠DMB=90°，∠EBD=∠ACB=∠BDM，BD=BD∴BM=DE∴CG=BH=BM+MH=DE+DF法八：（等面积法）如图8，连接AD。由题意可知。。图8而，即。而AB=AC，故CG=DE+DF。通过以上一题多解的训练，不仅能够达到知识间的整合（如本例综合运用了全等三角形、平行四边形、矩形等知识），而且能够发

6、散同学们的思维。同时，通过一题多解的训练，还让同学们掌握了一些添加辅助线的技巧，有利于培养同学们的探索精神和创新能力。