第1章真空中静电场2(高斯定理)

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1、1§3高斯定理一、电力线二、电通量三、静电场的高斯定理四、高斯定理在解场方面的应用附录：静电场高斯定理的证明2一、电力线用一族空间曲线形象描述场强分布电场线(electricfieldline)或电力线1.规定方向：力线上每一点的切线方向；大小：定性定量疏密垂直面积规定条数3+正点电荷与负点电荷的电场线-4一对等量正点电荷的电场线++5-+一对等量异号点电荷的电场线6一对不等量异号点电荷的电场线-q2q7+++++++++++++-------------带电平行板电容器的电场线END82.电力线的性质1)电力线起始于正电荷(或无穷远处)，终止于负电荷，不会在没有电荷

2、处中断；2)两条电场线不会相交；3)电力线不会形成闭合曲线。由静电场的基本性质和场的单值性决定的。可用静电场的基本性质方程加以证明。9匀强电场由电力线的定量规定有二、电通量通过任意面积的电力线条数叫通过该面的电通量如果在电场强度为E的匀强电场中，平面S与电场强度E相垂直，则e=ES.10如果在场强为E的匀强电场中，平面S与场强E不垂直，其法线n与场强E成角。如果在非匀强电场中有一任意曲面S，可以把曲面S分成许多小面元dS，dS可近似地看为平面，在dS范围内场强E可认为处处相同。这样，穿过面元dS的电场线条数可以表示为nEθs11通过任一曲面S的电通量：通过闭合曲面

3、S的电通量：12规定：面元方向S<0电力线穿入电力线穿出----由闭合面内指向面外通过闭合面的电通量简称外法线方向>0几何含义：通过闭合曲面的电力线的净条数13s1s2s3s4s5θEnxyz例1：一个三棱柱放在均匀电场中，E=200N/C,沿x方向，求通过此三棱柱体的电场强度通量。解：三棱柱体的表面为一闭合曲面，由S1、S2、S3、S4、S5构成，其电场强度通量为：即：通过闭合曲面的电场强度通量为零。14高斯高斯(C.F.Gauss17771855）德国数学家、天文学家和物理学家，有“数学王子”美称，他与韦伯制成了第一台有线电报机和建立了地磁观测台，高斯还创立了电

4、磁量的绝对单位制.15三、高斯定理（Gausstheorem）静电场中任何意闭合曲面S的电通量，等于该曲面所包围的电量除以e0而与S以外的电荷无关。数学表达式1.包围点电荷q的同心球面S的电通量球面上各点的场强方向与其径向相同。球面上各点的场强大小由库仑定律给出。S16此结果与球面的半径无关。即通过各球面的电力线总条数相等。从q发出的电场线连续的延伸到无穷远。2.证明包围点电荷q任意闭合曲面S的电通量S1S2S穿过球面S1和S2的电场线，必定也穿过闭合曲面S。所以穿过任意闭合曲面S的电通量必然为q/0，即173.任意闭合曲面S包围多个点电荷q1,q2,…,qn根据电

5、通量的定义和电场强度的叠加原理，其电通量可以表示为这表示，闭合曲面S的电通量，等于各个点电荷对曲面S的电通量的代数和。可见电通量也满足叠加原理。根据以上结论，通过闭合曲面S的电通量应为184.任意闭合曲面S不包围电荷，点电荷q处于S之外：如图所示，由于从q发出的电场线，凡是穿入S面的，必定又从S面穿出，所以穿过S面的电场线净条数必定等于零，曲面S的电通量必定等于零。5.多个点电荷q1,q2,…,qn，其中k个被任意闭合曲面S所包围，另外nk个处于S面之外：根据上一条的证明，闭合曲面S外的nk个电荷对S面的电通量无贡献，S面的电通量只决定于其内部的k个电荷，并应表示

6、为196.任意闭合曲面S包围了一个任意的带电体这时可以把带电体划分成很多很小的体元d，体元所带的电荷dq=d可看作点电荷，与上面第3条的结果一致，这时S的电通量可表示为根据矢量分析，可以将式高斯定理写成下面的微分形式201)闭合面内、外电荷的贡献2)静电场性质的基本方程3)源于库仑定律高于库仑定律4)微分形式讨论都有贡献对对电通量的贡献有差别只有闭合面内的电量对电通量有贡献有源场21四、高斯定理在解场方面的应用利用高斯定理解较为方便常见的电量分布的对称性：球对称柱对称面对称均匀带电的球体球面(点电荷)无限长柱体柱面带电线无限大平板平面对电量的分布具有某种对称性的

7、情况下22举例目的：1)清晰用高斯定理解题的步骤2)通过解题明确用高斯定理解题的条件3)简单的解作为基本结论记住并且能熟练使用。理论是建立在理想模型之上的23例1求电量为Q半径为R的均匀带电球面的电场强度分布第1步：根据电荷分布的对称性选取合适的高斯面(闭合面)解:取过场点P的以球心o为心的球面第2步：从高斯定理等式的左方入手计算高斯面的电通量24第3步：根据高斯定理列方程解方程第4步：求过场点的高斯面内电量代数和<>25第5步：得解rER均匀带电球面电场分布0<>26例2：一无限长均匀带电细棒，其线电荷密度为，求距细棒为a处的电场强度。解：以细棒