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1、混流式水轮机叶片自由曲面的延展摘要：传统的木模图法在表示水轮机叶片时存在表示叶片不完整和无法引入计算机辅助设计及制造的不足，为此本文提出了基于最小二乘法的非均匀有理B样条曲线曲面延展法，解决了混流式水轮机叶片空间曲面的小区域延展问题。同时结合水轮机叶片形状特点，利用自由曲面和解析曲面的求交法确定了叶片的延展边界，实现了叶片曲面的整体造型。论文最后算例分析表明，该方法能够得到精度较高的延展曲面，同时算法稳定可靠。关键词：延展求交拟合自由曲面水轮机叶片混流式水轮机叶片是一个复杂的空间扭曲面，长期以来，工程上采用木模图来表达水轮机转轮叶片、控制叶片的加工精度
2、和测量精度。经过长期的应用和发展这种空间扭曲叶片的木模图能够较好的满足传统的工艺制作及放样，然而在计算机辅助设计和制造技术广泛应用的今天，木模图的不足凸现出来[1,2]。首先木模图直接面对加工制造，无法应用于研究分析整个叶片的几何特点和力学特性；再者无法直接把木模图引入计算机辅助设计和制造系统，这大大影响叶片的设计和制造质量。随着科学技术的飞速发展，这种采用木模图来表达水轮机转轮叶片的方法已经逐渐不能满足当今市场竞争的需要。随着自由曲面造型技术的发展，此项技术应用于水轮机叶片的曲面造型初步解决了水轮机转轮叶片的表示问题。此项技术利用已知型值点构造非均匀
3、有理B样条曲线曲面，进而拟合得到叶片的空间表达方程。这种方法存在一个不足[1,3,4,5]，即非均匀有理B样条曲线曲面无法定义型值点区域外的图形，对混流式水轮机叶片的进行曲面造型时表现为无法拟合0-0断面和上冠之间区域的曲面形状。这就引出了非均匀有理B样条曲线曲面延展问题。1基于最小二乘法的非均匀有理B样条曲线曲面延展法1.1延展问题的已知条件现在通用的木模图在表示水轮机叶片时一般给出等z面的(x,y)数据[6]。如图1所示，由图可以看出，在0-0断面以上只有一个已知型值点，即进水边与上冠的交点，有时甚至还没有表示出这个点；同样在16-16断面以下
4、也只有一个已知型值点，即出水边与下环的交点，有时甚至还没有表示出这个点。在这种情况下如果要得到0-0断面以上和16-16断面以下的叶片型值点则只能采用延展的方法。还有在整体拟合叶片时如果不能确定曲面边界11，则可能会出现畸变结果，如图2所示，由图可以看出两点，首先叶片不完整，叶片将不能和上冠相交；另外拟合得到的叶片的空间几何形状与实际形状产生严重偏差，出水边与上冠和叶片的交线混为一体，造型失败。这问题的解决也有赖于采用延展方法来确定曲面边界，即进水边、叶片与下环的交线、出水边、叶片与上冠的交线4条空间曲线。图1温柔流式水轮机叶片木模图2拟合得到的叶片
5、的空间几何形状(左边为主视图，右边为侧视图)1.2延展问题的解决方案然而如何延展立即成为问题，因为由Nurbs曲线和曲面的定义可以看到，由于其只在起点和末点之间有定义，在起点和末点之外根本没有定义，这使得只能采用另外的途径来延展Nurbs曲线和曲面[7]。结合水轮机叶片的特点，即在小范围内曲线和曲面曲率变化不大，本文采用最小二乘法拟合曲面和曲线端部，得到拟合方程后应用此方程进行延展端部得到新的端点，再有新的端点和原有的Nurbs曲线型值点构成新的Nurbs曲线型值点，进而得到延展曲线和拟合曲面。1.3最小二乘法拟合原理在某一特定函数类｛φ(x)｝(例如
6、多项式)中找到一个函数F(x)作为y=f(x)的近似函数，使得在x上的按照某种标准误差最小，这就是拟合问题。记向量e=[ε0，ε1,…,εm]T，要求残差εi按照2-范数的平方为标准最小，即要求‖e‖22最小，这种方法称之为最小二乘法拟合法[8]。用最小二乘法拟合曲线时，必须先选择函数类，即确定函数F(x)的形式。这与所讨论问题的专门知识和经验有关。在本文中，结合水轮机叶片空间几何形状特点即在小范围内曲线和曲面曲率变化不大和整体Nurbs拟合标准即要求拟合曲面在任意点三次连续可导，因此使用三次多项式拟合。具体算法如下：对于给定的一组数据(xi,yi),
7、i=1,2,…,N,寻求作三次多项式(N＞3)11(1)使得总误差(2)为最小。由于Q可以看作关于aj(j=0,1,2,3)的多元函数，故上述拟合多项式的构造问题可以归结为多元函数的极值问题。令(3)得到(4)即由11(5)这是关于系数aj的线性方程组，而且是一个正则方程组，可以证明，此方程组解唯一。由此实际上得到了端部拟合曲线的多项式表示，进一步可以对其进行延长运算，得到新的端点数据。设原有型值点集为pi(i=0,1,…n),新的端点为Q，则由pi和Q构成新的型值点集pi(i=0,1,…m)，其中m=n+1。由此m个型值点重新拟合得到延长后的曲线。1
8、.4叶片边界的确定上冠、下环均是旋转曲面，我们把这两个旋转曲面的解析方程称为延展边界限定方程。
