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1、本科生代数论文课题:研究群的子群乘积的阶班级：xxxxxxxxxxxx姓名：xxxxxxxxxx学号：xxxxxxxxxx专业：xxxxxxxxxxxxx学院：xxxxxxxxxxxxxx指导老师：xxxxxxxxxxxx9摘要：群是《近世代数》中的一个重要概念。从不同角度出发，群可以分为有限群和无限群两大类，又可以分为交换群和非交换群两大类。在学习群的过程中我们还学习了群的阶以及群的元素的阶，它们和群的阶之间有着密切的联系，所以本文主要研究子群乘积的阶，我们就以两个子群乘积阶的算法为基础来研究
2、三个子群乘积阶的算法以及多个子群。一：元素的阶定义1.1设a是群G的元素，若存在使的最小正整数m，则称a的阶为m（此时称a有限阶元素），而对任意的正整数n，都有，则称元素a的阶是无限。结论1.1（1）群的元素a的阶为有限存在，使为有限集合存在正整数n，使（2）群的元素a的阶为无限对任意，均有为无限集合对任意正整数n，均有（3）①群的元素的阶为1②群的元素的阶为2且③群的元素的阶>2定义1.2若群G中有有限个元素，则称G是有限群，而群G中所含元素的个数叫群G的阶；若群G中有无限个元素，
3、则称G是无限阶群。结论1.2（1）若a是群G的无限阶元素，则，（2）若a是群G的m阶元素，则（3）任意群G的单位元e的阶都是1定理1.1（1）设G是一个群，元素a的阶为n，即，对任意的正整数m，若，则由可推出。9（2）设G是一个群，元素a的阶为n，即，对任意的正整数m，若，则。证明（2）：因为元素a的阶为n，则，由整数的带余除法存在整数q和r，使，其中。若，则这与a的阶是n矛盾，则即于是。证毕！定理1.2若群G中元素a的阶为m，则的阶是。证明：首先，记，则有且则由，有即其次，设，则由定理1.1（
4、2），从而，但是，故，因此，的阶是，即设群中元素a的阶是m，b的阶是n，则当ab=ba且(m,n)=1时，ab的阶是mn。证明：设ab的阶为k，由于9则又因为所以，由于则，同理，再有由由于，有，于是结论得证。二、元素乘积的阶定义2.1设群中元素a的阶是m，b的阶是n，则ab的阶叫做元素乘积的阶。值得注意的是，当元素a与b不满足ab=ba时，其乘积的阶会出现各种各样的情况，将无法根据a,b的阶来做出判断。即元素可不可换。这里我们讨论元素可换的情况。结论2.1若是群G的可换子集，元素的阶为，，则乘积
5、的阶是的约数。证明：记，则从而，于是因此的阶是的S约数。结论2.2若群G的元素a的阶有限，元素b的阶无限，ab=ba,则ab是无限阶元素证明：设ab的阶有限，记为n，由条件a的阶有限，记为m从而，而b的阶是无限的，引出矛盾。因此ab是无限阶元素。定理2.1若群G的元素a的阶是s，b的阶是t，ab=ba，则（1）元素ab的阶是[s,t]的约数（2）群G中存在阶是[s,t]的元素。证明：（2）设有标准分解式则记r=[s,t]有9不妨设，则有，且再记则的阶为，的阶为从而元素的阶为定理2.2 设a，b为
6、群G中的两个元素,若
7、a
8、=
9、b
10、=m且存在k∈N使,则ab的阶是。证明：令，则，再令，则，因为，所以但是，所以因为，所以又即ab的阶是。三、1.陪集的引入定义1.(子群的陪集)设为任意的群,而那么(1)形如的子集,叫做子群的一个右陪集,其中叫做代表元.(2)形如的子叫做子群的一个左陪集,其中叫做代表元.2.陪集的性质.定理3.1设,,于是有9(1)(2).证明：(只需证明(1),因为(2可同理证得))(ⅰ),由陪集的含义可知,必存在使,即使.使同理由上分析知,.(ⅱ).,当任取时使,经调整得,
11、,即.(ⅲ),则存在使,于是即.由上述(ⅰ)(ⅱ)和(ⅲ)知(1)成立.定理3.2设,设,那么(1).(2)对于陪集和而言,只有二种关系：或证明：(1)(2)如果,由定理1,..93．群的陪集分解定义2设是群,而,由～决定的中的分类叫做的一个陪集分解.譬如或定义3.设,那么的右(左)陪集的个数叫做在中的拾数,记为.在引例1中,令在引例2中,令.定理3.3(Lagrange定理)设,如果,且慢,那么证明:,这表明在中的右陪集只有个,从而有的右陪集分解:（其中）由引理知,所以.四、群的子群乘积的阶的
12、数值体现：1．设H，K是群G的两个有限子群，则证明：由于H∩K≤H，设，且，则=∵H∩K≤K∴（H∩K）K=K9,且，y=e∴从而∴∵∴，从而,即（证毕）2.根据两个子群的乘积的阶的算法，下面对三个子群的乘积作一下详细研究： 设H,K,L是群G的三个有限子群，则 ∣HKL∣=∣H∣∣K∣∣L∣/(∣H∩K∣∣H∩L∣∣K∩L∣)证明：由上知∣HKL∣=∣HK∣∣L∣/∣HK∩L∣=(∣H∣∣K∣/∣H∩K∣)(∣L∣/∣HK∩L∣)又因为∣HK∩L∣=∣H∩L∣∣K∩L∣,所以 ∣L∣/
