利用参数求轨迹方程

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1、利用参数求轨迹方程四川江油中学唐秋明邮编621700在高中数学中,我们常常遇到求动点轨迹方程,这个课题是中学数学的一个重要内容。但在有些求轨迹方程问题中,对于动点的坐标x、y不容易找到直接的关系，而如果选择适当的参数，轨迹的参数方程却较容易求得，所以，利用参数求轨迹方程是解决比较复杂的求曲线方程问题的重要方法。对用参数求轨迹方程，有不少同学感到无从下手，故本文在这里归纳出利用参数求轨迹方程的基本方法，以帮助同学们掌握解体规律，提高解题速度。由曲线的参数方程{形式我们可以看出,曲线的参数方程{实质上表示的是曲线上的动点坐标(f(t

2、),g(t)),故求曲线的参数方程就是求动点的坐标。因此，根据求动点坐标的不同方式，对求曲线的参数方程有以下解法：一、坐标定义法：这种方法就是充分利用题目中的条件，用坐标的定义，将动点的横纵坐标分别用与x轴平行和与y轴平行的线段表示，然后根据动点运动时联系这两个线段的变量关系，设置参数建立方程。例1．第7页共7页如图，OB是机器上的曲柄，长是r，绕点O转动，AB是连杆，M是AB上一点，MA=a，MB=b。当点A在Ox上作往返运动，点B绕找点O作圆运动时,求点M的轨迹方程.YBMXNAM’OB’探求：由坐标定义，设动点M的坐标为（

3、x，y），过M做X轴的垂线，垂足为M’，则y=M’M；再过B作X轴垂线，垂轴为B’，过M作BB’的垂线交BB’于N，于是，x=OM’=OB’+B’M’，由观察可知：线段M’M、B’M’及OB’的长度与∠MAO的大小相关，所以设∠MAO=θ，则得曲线的参数方程一、配方法当动点是已知方程的圆锥曲线的中心或顶点时，由于圆锥曲线的中心和顶点均可用配方法求得，所以，对此类问题通常利用配方法求解。例2：设曲线，当θ第7页共7页变化时，求抛物线顶点的轨迹方程。探求：因为，将方程配方后就可得抛物线的顶点坐标，故将方程配方为：即得顶点轨迹的参数方

4、程：，化为普通方程是：。一、公式定义法：对于可用公式或定义表示的动点的轨迹，我们可以直接利用公式或定义直接表示该动点坐标，然后再根据题意选择参数（确定参数），求出该曲线的轨迹方程。例3：圆上有定点A（2，0）和两动点B、C，且恒有，求△ABC的重心的轨迹方程。Y探求：由重心坐标公式知，只要能表示出三角形三顶点的坐标，那么，其重心的坐标（即动点参数方程）就可求得，如图：BXOCA（2，0）第7页共7页我们连接BO，CO，由ÐBAC=，则ÐBOC=，因为B、C在圆上，故设点B，则点C的坐标为，由重心坐标公式得轨迹的参数方程：（q为参

5、数）化为普通方程是：，轨迹为以点为圆心，2/3为半径的圆。例4：设复数满足

6、z

7、=r（rÎR，r>0），且ω=，求动点ω的轨迹方程。探求：由复数的代数形式定义可知，求出复数ω的实部与虚部就可求出动点ω的参数方程，故本题的解法就是将复数ω用定义分成实部与虚部。设z=r（cosθ+isinθ），代入ω=化简得：ω=，设ω=x+yi（x，yÎR），即得动点ω的参数方程：（θ为参数）第7页共7页化为普通方程就是：一、交轨法如果动点是几条曲线的交点或与这几条曲线的交点的有关，利用求交点（求交点的过程）或设交点坐标，再进行适当的转化就能求出

8、动点的轨迹方程。QRYXOP例5：已知椭圆，直线l：，P是L上一点，射线OP交椭圆于R，有点Q在OP上,且满足

9、OQ

10、

11、OP

12、=

13、OR

14、2，当P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。（95高考理科25题）探求：（解法1）动点Q与直线OP与椭圆和直线的交点有关，故本题考虑用交轨法；又由于题目的条件

15、OQ

16、

17、OP

18、=

19、OR

20、2第7页共7页反映三条以原点为起点线段的长度关系，利用过原点的直线的参数方程求其长度比较简便，所以有以下解法：设OP的参数方程为：（t为参数）①将①代入椭圆方程，解出②将①代入直线方程，解出③设动

21、点Q（x，y）对应的参数是，则由

22、OQ

23、

24、OP

25、=

26、OR

27、2及同向，于是可解出==，（≠0），代入①就得出动点Q的参数方程，消去参数就得出Q点的普通方程：，；其轨迹为以点（1，1）为中心，长轴长2a=，短轴长2b=的椭圆。（解法2）：设Q（x，y），P，R，由条件

28、OQ

29、

30、OP

31、=

32、OR

33、2和相似三角形性质，可得：；所以，只需解出代入上式就可得出动点Q的轨迹方程。由条件Q，P共线，P在L上，就有，由此解出；同理解出第7页共7页，代入，化简就得出Q点的轨迹方程（下同解法1）综上所述，求动点轨迹的参数方程就是求动点的坐标，我们可以根

34、据题目中产生该动点的形式，设计适当的方法来求它的轨迹方程。2000年12月28日星期四第7页共7页