杆件的应变能及其应用分析

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1、第十四章杆件的应变能及其应用一、教学目标和教学内容1．教学目标让学生掌握杆件弹性应变能的有关概念。理解和掌握在工程力学有广泛应用的能量方法。掌握功能原理、功的互等定理、位移互等定理、卡氏定理。能够熟练地计算基本变形杆件和常见的组合变形杆件的应变能。对于简单结构应变能，也能够完成应变能的计算。能够较为熟练地应用卡氏第二定理，完成杆件的位移计算，并可以求解简单超静定问题。为进一步在结构力学等后续课程中，学习和应用能量方法奠定基础。2．教学内容介绍能量法的有关概念。例如，外力的功、应变能、比能等等。介绍基本变形杆件应变能计算和组合变形杆件应变能计算。讲

2、解功能原理、功的互等定理和位移互等定理。讲解余能概念和卡氏定理。二、重点难点重点：建立应变能等有关概念。基本变形杆件和常见的组合变形杆件的应变能的计算。卡氏第二定理及其应用。难点：杆件应变能计算中的可否叠加问题。对于广义力和相应广义位移的正确理解和认识。应用卡氏第二定理求位移时，如何正确地选取或设定与位移相应的广义力。能否正确写出内力方程，灵活地进行先求偏导数再积分的运算。三、教学方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。四、建议学时6学时五、讲课提纲1、弹性应变能与功能原理弹性体在荷载作用下将发生变形，外力作用点要产生位移．因

3、此，在弹性体的变形过程中，外力沿其作用方向做了功，称为外力功。对于弹性体，因为变形是可逆的，外力功将以一种能量形式积蓄在弹性体内部。当将荷载逐渐卸除时，该能量又将重新释放出来作功，使弹性体恢复到变形前的形状。例如钟表里的发条在被拧紧的过程中，发生了弹性变形而积蓄了能量，在它放松的过程中可带动指针转动，从而发条就作了功。弹性体伴随弹性变形积蓄了能量，从而具有对外界作功的潜在能力，通常把这种形式的能量称为弹性应变能（Dlasticstrainenergy）或弹性变形能（Dlasticdeformationenergy），用表示。根据物理学中的功能原理

4、，积蓄在弹性体内的应变能及能量损耗在数值上应等于荷载所作的功，即如果在加载过程中动能及其它形式的能量损耗不计，应有（14.1）利用上述的这种功能概念解决固体力学问题的方法统称为能量法，相应的基本原理统称为功能原理（Principleforworkandenergy）。弹性体的功能原理的应用非常广泛，它是目前在工程中得到广泛应用的有限单元法的重要理论基础。2、杆件的应变能计算如前所述，若外力在加载过程中所作的功全部以应变能的形式积蓄在弹性体内，即在加载和卸载的过程中能量没有任何损失，则只要得到加载过程中外力功的数值，弹性体应变能的数值也就可以计算出

5、来，所以说外力功是应变能的一种度量。2.1外力功的计算外力作功分为以下两种情况。一种情况为常力作功。这里所谓常力，是指工程动力学中，作用在不变形的刚体上使刚体产生运动的力。当外力在作功过程中保持不变时，它所作的功等于外力与其相应位移的乘积。例如，在沿外力方向线上有线位移，则另一种情况为静荷载作功。所谓静荷载，是指构件所承受的荷载从零开始缓慢地增加到最终值，然后不随时间改变。所以静荷载的施加过程均为变力。静荷载作功，可以解释为在其施加过程中的一种变力作功。例如图14.1所示的简单受拉杆，拉力由零逐渐增加到定值，由产生的伸长变形由零逐渐增加到，这就是

6、拉力的作用点的位移。如果材料服从胡克定律，则外力与位移成线性关系（图14.2）。设表示加载过程中拉力的一个值，相应的位移为，此时将拉力增加一微量，使其产生相应的位移增量，这时，已经作用在杆上的拉力将在该位移增量上作全功，其值为（14.2）图14.1在上式中略去了在上作的功，这部分功为二阶微量。在图14.2中以阴影面积来表示。拉力从零增加到的整个加载过程中所作的总功则为这种单元面积的总和，也就是的面积，即上述积分是与静荷载施加过程有关的积分，可以称为静荷载作功的过程积分。积分结果的系数1/2，既是已经完成过程积分的标志，又表示构件材料为线性弹性材料

7、。将以上的分析推广到其它的受力情况，因而静荷载下外力功的计算式可写为（14.3）图14.2式中的是广义力，它可以是集中力或集中力偶；是与广义力相对应的位移，称为广义位移，它可以是线位移或角位移。上式表明，当外力是由零逐渐增加的变力时，在符合胡克定律的范围内，外力在其相应位移上所作的功，等于外力最终值与相应位移最终值乘积的一半。2.2杆件的应变能计算2.2.1应变能的有关概念按照功能原理，应变能可以由计算外力的功得到，这是应变能的一种计算方法。同时，也表明线弹性材料杆件的应变能，在完成了过程积分，也始终具有1/2系数。应变能和外力的功，它们在杆件受

8、力变形过程中的积累，也可以由荷载伸长图和应力应变图(见图14.2)考察到。2.2.2杆件的应变能计算2.2.2.1杆件在各种基本变形时应