复变函数教学大纲

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1、《复变函数》教学大纲一、《复变函数》课程说明（一）课程代码：08130006（二）课程英文名称：FunctionsofComplexVariables（三）开课对象：数学与应用数学本科、信息与计算科学本科学生（四）课程性质：考试复变函数是数学专业的一门专业必修课，又是数学分析的后继课。已经形成了非常系统的理论并且深刻地渗入到代数学，解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也有很多的应用。先修课程：数学分析，解析几何，高等代数，普通物理，常微分方程。（五）

2、教学目的：通过本课程的讲授和学习，使学生了解和掌握解析函数的一般理论，接受严密的复分析训练，并为将来从事教学，科研及其它实际工作打好基础。（六）教学内容：本课程主要讲述解析函数的分析理论，级数理论和几何理论；主要内容为复平面和复变函数，解析函数的初等函数及多值性问题，复函数的积分和调和函数，级数，留数理论及应用，保形映照等。（七）教学时数学时数：72学时分数：4学分教学时数具体分配：教学内容讲授实验/实践合计第一章复数与复变函数66第二章解析函数1212第三章复变函数的积分12考试214第四章解析函数的幂级数

3、表示法1212第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点88第六章留数理论及应用1212第七章保形映照88合计70272（八）教学方式教师课堂讲授为主。（九）考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩占40%，期末成绩占60%。二、讲授大纲与各章的基本要求　第一章复数与复变函数教学要点：通过本章的教学使学生初步使学生初步掌握并熟悉复平面的基础知识和复函数的概念，掌握区域和复数的各种表示方法及其运算，了解复球面的建立与球

4、极投影，和复变函数的定义与二元实函数的关系。1、使学生掌握复数各种表示方法及其运算。2、使学生了解区域的概念。3、使学生了解复球面与无穷远点。4、使学生理解复变函数概念。教学时数：6学时　教学内容：第一节复数一、复数域、复平面二、复数的模与辐角三、乘幂、方根、共轭复数第二节复平面上点集一、平面点集的几个基本概念二、区域、约当曲线第三节复变函数一、复变函数二、复极限、复连续第四节复球面和无穷远点一、复球面二、扩充复平面上的几个概念考核要求：1、复数1.1复数的各种运算、表示法和三角不等式（应用）2、复平面上点集

5、2.1平面点集的几个基本概念（领会）2.2区域、约当曲线（领会）3、复变函数3.1复极限、复连续（识记）4、复球面和无穷远点4.1无穷远点（识记）第二章解析函数教学要点：1、理解复变函数可导与解析的概念，弄清这两个概念之间的关系。2、熟练掌握解析函数的C－R条件，能运用C－R条件判定函数的解析性。3、熟练掌握和运用解析函数的求导与求导公式。5、熟练掌握指数函数、幂函数、三角函数的定义和基本性质以及简单映射性质。并会运用欧拉公式和复数的指数表示。5、掌握各初等多值函数的定义和基本性质，了解其多值性。教学时数：1

6、2学时　教学内容：第一节解析函数的概念与C－R条件一、复导数、复微分二、解析函数，C－R条件第二节初等解析函数一、指数函数二、三角函数三、双曲函数第三节初等多值函数一、根式函数二、对数函数三、一般幂函数四、一般指数函数考核要求：1、解析函数的概念与C－R条件1.1复变函数可导与解析（领会）1.2解析函数的C－R条件（应用）2、初等解析函数2.1指数函数、幂函数、三角函数（应用）3、初等多值函数3.1各初等多值函数的定义和基本性质（识记）第三章复变函数的积分教学要点：1、掌握复变函数沿一条逐段光滑曲线积分的定义

7、，基本性质和计算方法，及其与实函数积分的关系。2、熟练掌握柯西积分定理，能证明柯西积分定理。3、理解解析函数在单连通区域内的不定积分概念。4、熟练掌握和运用柯西积公式与高阶导数公式。5、掌握柯西不等式、刘维尔定理、最大模原理，并能应用它们做一些较简单的证明题，了解摩勒拉定理。教学时数：12学时　教学内容：第一节复积分的概念性质一、复积分的定义二、复积分的计算三、复积分的性质第二节Cauchy积分定理一、Cauchy积分定理二、不定积分三、Cauchy积分定理的推广第三节Cauchy积分公式及推论一、Cauch

8、y积分公式二、解析函数的无穷可微性三、刘维尔定理第四节解析函数与调和函数的关系一、解析函数与调和函数的关系考核要求：1、复积分的概念性质1.1复积分（识记、领会、应用）2、Cauchy积分定理2.1Cauchy积分定理（领会）2.2不定积分（应用）3、Cauchy积分公式及推论3.1柯西积公式与高阶导数公式（领会、应用）3.2刘维尔定理（领会）4、解析函数与调和函数的关系4.1解析函数与调和函数的关