2018年高考数学二轮复习数学思想领航二数形结合思想专题突破讲义

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1、2018年高考数学二轮复习数学思想领航专题突破讲义二、数形结合思想以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)　　借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想　　借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想　　数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合方法一　函数图象数形沟通法模型解法函数图象数形沟通法，即

2、通过函数图象来分析和解决函数问题的方法，对于高中数学函数贯穿始终，因此这种方法是最常用的沟通方法．破解此类题的关键点：①分析数理特征，一般解决问题时不能精确画出图象，只能通过图象的大概性质分析问题，因此需要确定能否用函数图象解决问题．②画出函数图象，画出对应的函数、转化的函数或构造函数的图象．③数形转化，这个转化实际是借助函数图象将难以解决的数理关系明显化．④得出结论，通过观察函数图象得出相应的结论．典例1　设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数．当x∈[0，π]时，0≤f(x)≤1；

3、当x∈(0，π)且x≠时，f′(x)>0.则函数y＝f(x)－sinx在[－3π，3π]上的零点个数为(　　)A．4B．5C．6D．8解析　∵当x∈[0，π]时，0≤f(x)≤1，f(x)是最小正周期为2π的偶函数，∴当x∈[－3π，3π]时，0≤f(x)≤1.∵当x∈(0，π)且x≠时，f′(x)>0，∴当x∈时，f(x)为单调减函数；当x∈时，f(x)为单调增函数，∵当x∈[0，π]时，0≤f(x)≤1，2018年高考数学二轮复习数学思想领航专题突破讲义定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y

4、＝sinx和y＝f(x)的草图如图，由图知y＝f(x)－sinx在[－3π，3π]上的零点个数为6，故选C.答案　C思维升华　由函数图象的变换能较快画出函数图象，应该掌握平移(上下左右平移)、翻折(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转化法与函数解析式的关系．跟踪演练1　已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(－x－1)＝f(x－1)，当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x3，则关于x的方程f(x)＝

5、cosπx

6、在上的所有实数解之和为(　　)A．－7B．－6C．－3D．－1答案　A解析　因为函数f(x)为偶函数

7、，所以f(－x－1)＝f(x＋1)＝f(x－1)，所以函数f(x)的周期为2，如图，在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝

8、cosπx

9、的图象，由图知关于x的方程f(x)＝

10、cosπx

11、在上的实数解有7个．不妨设7个解中x1

12、cosπx

13、在上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7，故选A.方法二　几何意义数形沟通法模型解法几何意义数形沟通法即在解决问题的过程中对题目中的一些代数式进行几何意义

14、分析，将其转化为与几何结构相关的问题，通过解决几何问题达到解决代数问题的目的．此方法适用于难以直接解决的抽象问题，可利用图形使其直观化，再通过图形的性质快速解决问题．破解此类题的关键点：①分析特征，一般从图形结构、性质等方面分析代数式是否具有几何意义．②进行转化，把要解决的代数问题转化为几何问题．③得出结论，将几何问题得出的结论回归到代数问题中，进而得出结论．2018年高考数学二轮复习数学思想领航专题突破讲义典例2　如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，则的最大值为(　　)A.B.C.D.解析　方程(x－2)2＋y2＝3的

15、几何意义为坐标平面上的一个圆，圆心为M(2,0)，半径为r＝(如图)，而＝则表示圆M上的点A(x，y)与坐标原点O(0，0)的连线的斜率．所以该问题可转化为动点A在以M(2,0)为圆心，以为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值．由图可知当∠OAM在第一象限，且直线OA与圆M相切时，OA的斜率最大，此时OM＝2，AM＝，OA⊥AM，则OA＝＝1，tan∠AOM＝＝，故的最大值为，故选D.答案　D思维升华　解决此类问题需熟悉几何结构的代数形式，一般从构成几何图形的基本因素进行分析，主要有(1)比值——可考虑直线的斜率．(2)二元

16、一次式——可考虑直线的截距．(3)根式分式——可考虑点到直线的距离．(4)根式——可考虑两点间的距离．跟踪演练2　设点P(x，y)满足：则－的取值范围是(　　)A.B.C.D．[－1,1]答案　B解析　作出不等式组所表示的可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，其