2016-2017学年人教a版选修2-1 2.3.1 双曲线及其标准方程学案

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1、2．3双曲线2.3.1　双曲线及其标准方程双曲线的定义我海军“马鞍山”舰和“千岛湖”舰组成第四批护航编队远赴亚丁湾，在索马里海域执行护航任务．某日“马鞍山”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“马鞍山”舰相距1600m的“千岛湖”舰，3s后也监听到了该马达声(声速为340m/s)．问题1：“千岛湖”舰比“马鞍山”舰距离快艇远多少米？提示：340×3＝1020(米)．问题2：若把“马鞍山”舰和“千岛湖”舰看成两个定点A，B，快艇看成动点M，M满足什么条件？提示：

2、MB

3、－

4、MA

5、＝1020.双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于

6、F

7、1F2

8、)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.双曲线的标准方程在平面直角坐标系中，已知A(－3,0)，B(3,0)，C(0，－3)，D(0，3)．问题1：若动点M满足

9、

10、MA

11、－

12、MB

13、

14、＝4，则M的轨迹方程是什么？提示：－＝1.问题2：若动点M满足

15、

16、MC

17、－

18、MD

19、

20、＝4，则点M的轨迹方程呢？提示：－＝1.双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b21．双曲线定义

21、的理解(1)定义中的常数是“差的绝对值”，“绝对值”这一条件不可忽略．若没有绝对值，表示的只是双曲线的一支．①若

22、PF1

23、－

24、PF2

25、＝2a(a>0)，曲线只表示双曲线靠近F2的一支．②若

26、PF1

27、－

28、PF2

29、＝－2a(a>0)，曲线只表示双曲线靠近F1的一支．(2)若

30、F1F2

31、＝2a，动点的轨迹不再是双曲线，而是两条射线．(3)若

32、F1F2

33、<2a，动点的轨迹不存在．2．通过双曲线方程－＝1(焦点在x轴上)和－＝1(焦点在y轴上)(a>0，b>0)可以看出：如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．对于双曲线，a不一定大

34、于b，但是无论双曲线的焦点在哪个轴上，方程中的三个量都满足c2＝a2＋b2.求双曲线的标准方程[例1]　已知双曲线过P1(－2，)和P2(，4)两点，求双曲线的标准方程．[思路点拨]　解答本题可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b，c的方程组，求得a，b，c，从而得双曲线标准方程；也可以设成mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式，可避免讨论并简化运算．[精解详析]　法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．∵P1，P2在双曲线上，∴解得(不合题意，舍去)当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．∵P1，P

35、2在双曲线上，∴解得即a2＝9，b2＝16.∴所求双曲线的标准方程为－＝1.法二：∵双曲线的焦点位置不确定，∴设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．∵P1，P2在双曲线上，所以解得∴所求双曲线的标准方程为－＝1.[一点通]　求双曲线标准方程的步骤：1．已知双曲线的一个焦点坐标为(，0)，且经过点(－5,2)，则双曲线的标准方程为(　　)A.－y2＝1　　　　　　B.－x2＝1C.－y2＝1D.－＝1解析：依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则有解得故双曲线的标准方程为－y2＝1.答案：A2．求与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程

36、．解：法一：设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．由题意易求得c＝2.又双曲线过点(3，2)，∴－＝1.又∵a2＋b2＝(2)2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为－＝1.法二：设双曲线方程为－＝1(－4

37、PF1

38、，

39、PF2

40、的方程，求得

41、PF1

42、，

43、PF2

44、或

45、PF1

46、·

47、PF2

48、即可．[精解详析]　

49、由－＝1，得a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线定义及勾股定理得

50、PF1

51、－

52、PF2

53、＝±6，

54、PF1

55、2＋

56、PF2

57、2＝

58、F1F2

59、2＝102，∴(

60、PF1

61、－

62、PF2

63、)2＋2

64、PF1

65、·

66、PF2

67、＝100.∴

68、PF1

69、·

70、PF2

71、＝＝32.∴S△F1PF2＝

72、PF1

73、·

74、PF2

75、＝16.[一点通]　利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件

76、

77、PF1

78、－

79、PF2

80、

81、＝2a的变形的使用，特别是与

82、PF1

83、2＋

84、PF2

85、2，

86、PF1

87、·

88、PF2

89、间的关系；二是要与三角形知识相结合，如勾股定理、余弦定理、正弦定理等，同时要注意整体思想的应用．3．若点