北大精品课件高等代数（下）

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1、第二学期第一次课第五章§3实与复二次型的分类1．复、实二次型的规范形：定理复数域上的任一二次型在可逆变数替换下都可化为规范形其中是的秩.复二次型的规范形是唯一的.证明复数域C上给定二次型)()设它在可逆线性变数替换X＝TZ下变为标准型…这相当于在C上n维线性空间V内做一个基变换使对称双线性函数f（α，β）在新基下的矩阵成对角形，即设…中有r个不为零。只要把的次序重新排列一下，就可以使不为零的排在前面，而后面n－r个全为零。因此，不妨设f的标准型为…（，f的矩阵为A=(),有＝＝因T可逆，r（D）=r(A).故D中主对角线上非

2、零元素个数r＝r（D）＝r（A）＝f的秩。因为在复数域内任意一个数都可以开平方，所以可以对上述标准型再做如下可逆线性变数替换（其中为的任一平方根）：80于是f变作定理实数域上的任一二次型在可逆变数替换下都可化为规范形其中正平方项的个数称为的正惯性指数，负平方项的个数称为的负惯性指数（称为的符号差），是的秩.实二次型的规范形是唯一的.证明在实数域R上给定二次型()设f的秩为r，由上一定理的证明可知，存在R上可逆线性变数替换X＝TZ，使f化为标准型…其中…为非零实数。按同样的道理，不妨设前p个:…为正数，而余下r－p个：为负数。

3、因为在R内任何正数均可开平方，故可做R内可逆线性变数替换于是二次型化作80其中.现在证规范型的唯一性。规范型中的r等于f的秩，是唯一确定的，我们只需证明正平方项的个数p也是唯一确定的就可以了。设f有两个规范型按命题2.2的推论，这表明在R上n维线性空间V内存在一组基，使当时在V内又存在一组基，使当时，现令M=L()，则当时，(不全为零)。于是。又令N＝L（）。则当时，有于是。这表明。按维数公式，我们有这表明，即。由于p，q地位对称，同理应有，于是p＝q。第二学期第二次课2．正定二次型：正惯性指数等于变元个数的实二次型称为正定

4、二次型；正定二次型的（实对称）矩阵称为正定矩阵；设A＝（）为n阶实对称矩阵，称A的r阶子式为方阵的顺序主子式。定理设是实二次型，则下述四条等价：（i）正定；（ii）的矩阵，其中为可逆阵；80（iii）对应的二次型函数R;（iv）的矩阵的所有顺序主子式都大于0.证明由命题2.2知（i）与（ii）等价。（i）与（ii）等价有一个很有用的推论：正定矩阵的行列式大于零。（i）（iii）：在V的某一组基下的解析表达式为：若，显然有R。（iii）（i）：设的规范型为则上式为在V的某一组基下的解析表达式。若r

5、＝n。而若p0.(iv):对n做数学归纳法。n=1时结论是显然的.现设对n-1个变元的实二次型命题成立.考察V的子空间M=L(),f限制在M内,在基下的矩阵为其各阶顺序主子式>0.按归纳假设,.于是,.于是M内存在一组基,使f在此基下的矩阵为.将添加成为V的一组基.令80则与等价,也是V的一组基.且.故f在下的矩阵为B与A合同,有于是令则为V的

6、一组基,且在此基下,f的矩阵为,即A合同于,从而f正定.最后，我们指出，n元实二次型可分为如下5类：1）正定二次型：正惯性指数＝秩＝n；2）半正定二次型：正惯性指数＝秩；3）负定二次型：负惯性指数＝秩＝n；4）半负定二次型：负惯性指数＝秩；5）不定二次型：其他。第二学期第三次课第六章带度量的线性空间§1欧几里得空间设f是实线性空间V上的一个正定、对称的双线性函数,则():=称为向量的内积；具有内积的实线性空间称为欧几里得空间（简称欧氏空间）；对任意定义为向量的长度或模.时,称为单位向量.命题1.1(柯西-布尼雅可夫斯基不等式

7、)对欧氏空间V内任意两个向量,有证明(+t,+t)0对任意tR成立,而80(+t,+t)=(,)t+2t()+,故由命题1.1可定义二向量的夹角<><>=如果()=0,则称正交.设是n维欧氏空间V的一组基.令称G为内积()在基下的度量矩阵.G是实正定二次型在这组基下的矩阵,一定是实对称矩阵,并且是正定的.命题1.2设欧氏空间V内s个非零向量两两正交,则它们线性无关.证明假如两边用作内积,得,(i=1,2,…,s).如果n维欧氏空间V内有n个两两正交的单位向量,则由命题1.2可知它们是线性无关的,从而是V的一组基,称为V的一组

8、标准正交基.显然,内积在标准正交基下的度量矩阵是单位矩阵E.设是V的一组基,内积在此基下的度量矩阵为G.G正定,故存在实可逆阵T,使.现令()=()T.易验证就是一组标准正交基.这说明标准正交基总是存在的.设R上n阶方阵T满足则称T是正交矩阵.80命题1.3是V的一组标准正交基,令()=(