几个正项级数敛散性的判别法的强弱比较

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1、《数学与应用数学》学年论文题目几个正项级数敛散性的判别法的强弱比较学号姓名教师评语：成绩指导教师摘要：级数理论在实际生活中的运用极为广泛，正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断，正项级数敛散性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，才能事半功倍.我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理,但书上往往只是对定理本身做一个证明，然后举几个简单应用的例子就

2、好了，没有做过多的分析.但是,我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性.因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢，定理与定理之间会有些什么联系和区别呢，做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢?下面就对正项级数的各种判别法强弱比较进行了讨论与分析。1正项级数相关概念1.1正项级数的定义如果级数的各项都是非负实数，即则称此级数为正项级数1.2正项级数敛散性判别的充要条件正项级数的每一项都为正的基本特点导致正项级数部分和数列单调增加,从而有正项级数敛散性的基本判别定理:定理：正项级数收

3、敛它的部分和数列有上界.证明由于,所以是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界定理),从而本定理得证.例级数是正项级数。它的部分和数列的通项，所以正项级数收敛。2正项级数敛散性判别法2．1判别发散的简单方法由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数收敛有.取特殊的,可得推论:若级数收敛,则.定理：该推论的逆否命题:若,则级数发散.快速判断级数的敛散性.解:由于,从而根据定理2可知,该级数发散.如果,则可由该逆否命题直接可以判别出该级数发散;如果,则不能判断级数是否收敛,因为存在级数满足的发散级数，如；也存在级数满足的收敛级数，如.显然该逆否命题只使用于满足的发散级数.2

4、．2比较判别法定理(比较判别法)：有两个正项级数与,且,有,c是正常数.1）若级数收敛,则级数也收敛;2）若级数发散,则级数也发散.比较判别法的极限形式：有两个正项级数与,且1）若级数收敛,且,则级数也收敛;2）若级数发散,且,则级数也发散.活用比较判别法(1)当所求级数的通项中出现关于n的有理式时,比较对象常常选取p-级数或调和级数.例1判别级数的敛散性.解:因为（分母缩小,分数放大）,又由于收敛.则由此比较判别法,原级数也收敛.(2)当所求级数通项中出现正弦函数或对数函数时,利用不等式选取适当的比较对象.例2判别级数的敛散性.分析:考虑当时,,则,而是公比的收敛级数,故原级数收敛.(3)

5、当所求级数的通项放大、缩小不方便时,可采用比较判别法的推论.例3判别级数的敛散性.解:由于,又因为是发散的,则原级数也发散.2．3柯西判别法(根值判别法)定理4(柯西判别法)：有正项级数,存在常数.1）若,有,则级数收敛;2）若存在无限个n,有,则级数发散.证明1）已知有或.又已知几何级数收敛,于是级数收敛.2）已知存在无限个n,有或,即不趋近于,于是级数发散.根值判别法的极限形式：有正项级数,若,则1）当时,级数收敛;2）当时,级数发散.活用柯西判别法例1判别级数的敛散性.解:由于,根据柯西判别法的推论,可得级数收敛.例2判别级数的敛散性。解:由于,所以根据柯西判别法的推论知,级数发散.2

6、．4达朗贝尔判别法(比值判别法)定理(达朗贝尔判别法)：有正项级数,存在常数.1）若,有,则级数收敛;2）若,有,则级数发散.比值判别法的极限形式：有正项级数,且1）当时,级数收敛;2）当时,级数发散.活用达朗贝尔判别法例1判别级数的敛散性.解:由于,所以根据达朗贝尔判别法的推论知,级数收敛.例2判别级数的敛散性.解:由于,根据达朗贝尔判别法的推论知,级数发散.2．5积分判别法定理(积分判别法)：设为上非负减函数,那么正项级数与反常积分同时收敛或同时发散.活用积分判别法例1判别级数的敛散性.解:将原级数换成积分形式,由于,即收敛,根据积分判别法可知,级数也收敛.例2证明调和级数发散.解:将原

7、级数换成积分形式,由于,即发散,根据积分判别法可知,调和级数发散.2．6拉贝判别法定理(拉贝判别法)：有正项级数,存在常数.1)若,有,则级数收敛；2)若,有,则级数发散.拉贝判别法极限形式：有正项级数,且极限存在,若1)当时,级数收敛;2)当时,级数发散.活用拉贝判别法例1讨论级数当时的敛散性.解:当时,由于,所以根据拉贝判别法知,原级数是发散的.当时,由于,所以原级数是发散的.当s=3时，由于,所以原级数