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1、第九讲：无穷级数一、常数项级数1、概念与性质：（1）数列中的各项用加号连接的形式：称为无穷项数项级数，第项称为一般项（通项）。数列称为级数的前项之和（部分和），若，则称级数的和为，级数收敛；若不存在，则称级数发散。若级数收敛，称为级数的余项，。例1：判定下列级数的敛散性：①：解：，，故发散；②：解：，，故收敛；③调和级数：；解：由，，故级数发散。④几何级数：⑤级数：（1）性质：ⅰ、设、为常数，若、收敛，则也收敛，且；推论：常数，与同敛散；比如：证明级数发散：因为与同敛散，又发散，故级数发散；注意：，；ⅱ、改变级数的有限项，不会改变级数的敛散性；推
2、论：与同敛散；ⅲ、收敛级数“加括号”后所得的级数仍收敛于原来的和；（“加括号”后所得的级数发散，则原级数必发散）比如：已知，求：解：，故；ⅳ、若级数收敛，则（若，则发散）比如：由，则发散。ⅴ、柯西收敛准则：级数收敛，，当时，对任何，均有。1、正项级数的审敛法若，，则称级数为正项级数。由得单调增加，可知正项级数的收敛准则：正项级数收敛部分和有界。（1）比较审敛法：若、为正项级数，且，其中为正常数，则当收敛时，也收敛；当发散时，也发散。比较审敛法的极限形式：若、为正项级数，且，则当时，与同敛散；当时，若收敛，也收敛；若发散，也发散；当时，若收敛，也收
3、敛；若发散，也发散。（2）比值审敛法（达朗贝尔判别法）：设为正项级数，则当时，收敛；当时，发散。比值审敛法的极限形式：若为正项级数，且，则当时，收敛；当时，发散；当时，无法确定。（3）根值审敛法（柯西判别法）：设为正项级数，则当时，收敛；当时，发散。根值审敛法的极限形式：若为正项级数，且，则当时，收敛；当时，发散；当时，无法确定。（4）积分审敛法：若（）为非负的不增函数，则与同敛散。（5）拉阿伯审敛法：若为正项级数，且，则当时，收敛；当时，发散；当时，无法确定。3、交错级数及审敛法：（1）设，级数或称为交错（项）级数。（2）莱布尼兹审敛法：若交错
4、级数或满足：，，则该级数收敛。4、绝对收敛与条件收敛：若收敛，则称绝对收敛，此时也收敛；若发散，但收敛，则称条件收敛。判断下列级数的收敛性例1:;解:注意到,当充分大时,,即,故,收敛,因此:收敛.例2:;解:,因此原级数收敛.例3:解:,当时,级数收敛;当时,级数发散;当时,当时,该级数收敛,当时,该级数发散.例4:,,解:因为,又发散,收敛,因此收敛,,发散.例5:;解:,当即时,级数收敛;当时,级数发散;当时,,故级数发散.例6:;解:由于,及,故级数收敛.例7:解:由于及当时,,当时,,因此当时,级数发散;当时,级数收敛.例8:;解:由于
5、,即,级数发散,故原级数也发散.例9:;解:由于,取则有,及收敛,故原级数收敛.例10:;解:,当充分大时,则有,即,也即,又收敛,故原级数收敛.例11:;解:,故级数收敛.例12:;解:考虑,,又,,,即,发散,因此原级数收敛.例13:设证明级数当时收敛,当时发散.证明:根据极限定义,当时,恒有.即.当时,取适当小的,使,即得,即,又,收敛,故收敛.当时,取适当小的,使,即得,即,又,发散,故发散.例14:已知级数收敛,问级数是否收敛?解:由于,及收敛,故收敛,即绝对收敛,因此收敛.例15:讨论级数的收敛性,若收敛,是绝对收敛,还是条件收敛?解
6、:原式,由知发散,考虑,由于,取得,又,,故在时单调减少,因此有,即,满足莱布尼兹定理条件,因此本级数条件收敛.例16:讨论级数的收敛性,若收敛,是绝对收敛,还是条件收敛?解:由于,发散,故发散,又,,级数收敛,发散,故原级数发散.例17:讨论级数的收敛性,若收敛,是绝对收敛,还是条件收敛?解:由于,且当时,.故原级数为交错级数.发散(,又发散),故原级数不会绝对收敛,又,,取故单调减少,即,也即,满足狄里克来条件,因此该级数条件收敛.例18:已知数列收敛,级数收敛,证明级数收敛.解一:设级数的部分和为,级数部分和为即存在,故级数收敛级数收敛.解
7、二:取,则级数收敛,又,,故级数收敛,因此原级数收敛.例:已知收敛,证明级数也收敛.证明:已知收敛,故存在,使,.记,由于,故,因此,即正项级数的部分和数列有上界,从而原级数收敛.例20:设正项数列单调减少,且级数发散,试问级数是否收敛?并说明理由.解:正项数列单调减少且有下界,故存在,不妨设为,则.若,则由莱布尼兹定理知级数收敛,矛盾,故.因此由,故级数收敛.例21:设且,问级数是否收敛?解:=,由知,于是,级数收敛.又,故发散,因此原级数条件收敛.例22:设在点的某个邻域内具有二阶连续导数,且,证明级数绝对收敛.证明:由题意知,又,在点的某个
8、邻域内连续,不妨取该邻域内含有原点的一小区间,在上连续,则使,故.令,当充分大时,有,收敛,因此级数绝对收敛.[例23]判别级数的敛散性
