2012年高三诊断考试数学(理科)参考答案

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1、2012年高三诊断考试数学(理科)参考答案和评分参考一、选择题(12小题,每小题5分,共60分)(1)C(2)C(3)B(4)A(5)D(6)D(7)D(8)C(9)B(10)C(11)B(12)A二、填空题(4小题,每小题5分,共20分)(13)(14)(15)(16)三、解答题(6小题,共70分)(17)解:(Ⅰ)∵∴∴……………………5分(Ⅱ)∵,且∴解得:,所以故……………………10分解法二:因为,且由余弦定理,得:解得:,所以∴∴……………………10分(18)解:设甲获奖为事件,乙获奖为事件,丙获奖为事件,丙获奖的概率为,则即解得………3分(Ⅰ)三人中恰有一人获奖的概率为

2、:………6分(Ⅱ)………10分∴………12分(19)解法一:(Ⅰ)证明:∵为的中点为正三角形∴∴平面而平面∴平面平面………………6分(Ⅱ)∵∥∴∴点为的中点∵∴平面………………7分过点做,垂足为,连接则,所以为二面角的一个平面角………………9分∵∴设,则∴………………12分解法二:依题意有,,两两垂直且相交于点,故建立如图所示的空间直角坐标系,设则:  ,,,(Ⅰ)∵,∴,∴∴∴平面而平面∴平面平面………………6分(Ⅱ)∵∥∴∴点为的中点∴∵∴平面∴为平面的一个法向量设为平面的一个法向量,则有,即令则,∴∴而∴∴二面角的正切值………………12分(20)解:(Ⅰ)∵∴即…………………

3、…3分∴数列是以为首项,为公差的等差数列,故∴……………………6分(Ⅱ)∵∴……………………9分∴∴……………………12分(21)解:(Ⅰ)由条件可得,所以点轨迹为以直线为准线,为焦点的抛物线,所以点的轨迹方程为…………………4分(Ⅱ)设,,的中点为,,直线的方程为由,得∴……………6分所以,从而∵为正三角形,∴且……………8分由,得,所以由,得即,∵∴,从而……………10分∵∴∴的取值范围.……………………12分(22)解:(Ⅰ)∵∴时,时,时∴函数在上单调递增,在上单调递减∴………3分∵时,恒有成立即时,恒有成立∴∴实数的取值范围是………6分(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)得当时恒有,即…

4、……8分∴∴………12分

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