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1、数值分析实验报告学院：材料科学与工程学院专业：材料加工工程学号：2013230071姓名：王力强数值分析实验报告一．问题的提出在微积分中，积分值是通求微积分基本定理求得的，然而被积分的原函数在寻找比较困难，许多积分函数甚至找不到用初等函数的原函数。为此研究数值积分问题是非常必要的。数值积分的至今普遍应用主要有三种：（1）梯形公式（2）Simpson公式及其复合形式（3）Romberg本实验选用复合梯形公式、复合Simpson公式及Romberg算法的两种对数值积分进行计算，例如：进行数值计算，比较分析两种算法的结果，理解数值积分法
2、的意义，明确数值积分精度和步长之间的关系等。二．目的和意义1．深刻理解数值积分的意义在微积分中，原函数的寻找往往比较困难，许多积分函数甚至找不到用初等函数表示的原函数。另外，当f(x)是由测量或者数值计算给出的一张数据表时，牛顿—莱布尼茨公式也不能直接运用，因此研究数值积分问题是非常必要的。2．明确数值积分的精度与步长的关系为了提高精度通常可把积分区间分为若干个子区间，再在每个子区间上用低阶求积公式，即所谓的复合求积公式。虽然复化的求积方法对提高精度是行之有效的，但是在使用求积之前必须给出合适的步长，步长取得太大精度难以保证，步长
3、太小则会导致计算量的增加。3．根据定积分的计算方法，可以考虑二重积分的计算问题在微积分中，二重积分的计算是用化为累次积分的方法进行的。计算二重数值积分也同样采用累次积分的计算过程。利用二重积分的复化梯形公式设计如下：其中，a,b,c,d为常数，f在D上连续。将它变为化累次积分做等距节点，x轴，y轴分别有：先计算,将x作为常数，有:再将y作为常数，在x方向，计算上式的每一项的积分系数，在积分区域的四个角点为1/4，4个边界为1/2，内部节点为1。三．计算公式复合梯形、复合Simpson公式及Romberg公式在以下给出。1．公式1)
4、复合梯形公式2)复合Simpson公式为了方便编程，将上述公式写为：3）Romberg公式Romberg积分法是通过用余项公式对梯形法则的误差与步长、Simpson公式误差与步长等进行比较，逐步研究推导而得出。本程序用Romberg数值积分公式计算定积分的近似值，使相邻两次的近似值的绝对值或者相对误差小于给定的误差限。Romberg公式：四．数学原理考虑积分，欲求其近似值，通常有复合的梯形公式、Simpsion公式和Cotes公式。但是给定一个精度，这些公式达到要求的速度很缓慢。如何提高收敛速度，自然是人们极为关心的课题。为此，记
5、为将区间[a,b]进行2k等分的复合梯形公式计算结果，记为将区间[a,b]进行2k等分的复合Simpsion公式计算结果，记为将区间[a,b]进行2k等分的复化的Cotes公式计算结果。根据Richardson外推加速方法，可以得到收敛速度较快的Romberg积分法。其具体的计算公式为：1.准备初值，计算2.按梯形公式的递推关系，计算3.按Romberg积分公式计算加速值m=2,…，k4.精度控制。对给定的精度，若则终止计算，并取为所求结果；否则返回2重复计算，直至满足要求的精度为止。五．结构程序1.用复合梯形公式和复合Simps
6、ion公式计算I=(f(0)=1，I)程序如下：#include#includedoubleSIMP1(double,double,int);doubleFUTX(double,double,int);doubleFun(double);voidmain(){doublea,b,x;intn;a=0.0;b=1.0/4.0;n=20;//可设定具体的分段数n=10或者20printf("%.10f",SIMP1(a,b,n));printf("%.10f",FUTX(a,b,n));//p
7、rintf("time=%f",Atime/60);}doubleFun(doublex){return(sqrt(4-sin(x)*sin(x)));}doubleSIMP1(doublea,doubleb,intn){inti;doubleh,s;h=(b-a)/(2*n);s=0.5*(Fun(a)-Fun(b));for(i=1;i<=n;i++)s+=2*Fun(a+(2*i-1)*h)+Fun(a+2*i*h);return((b-a)*s/(3*n));}doubleFUTX(doublea,doubleb,
8、intn){inti;doublet,h;h=(b-a)/n;t=Fun(a)+Fun(b);for(i=1;i<=n;i++)t+=2*Fun(a+i*h);return((t*h/2));}2.用复合梯形公式和复合Simpsion公式计算I=(
