高阶导数和高阶微分 泰勒公式

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1、129§2-9高阶导数和高阶微分·泰勒公式§2-9高阶导数和高阶微分·泰勒公式1.高阶导数和高阶微分在§2-3中，我们讲了函数的二阶导数和二阶微分。一般地，函数的阶导数就是而阶微分就是(是自变量；被看成与无关的有限量)因此，按照莱布尼茨的记法，函数的阶导数也可记成或简记成(注意的位置)这样，导数与微分之间的那种“乘或除”的转换关系被保留到阶导数与阶微分的关系中.例33因为指数函数的导数，所以.依次类推，则有例34对于函数，则一般地，；.同理，对于函数，有；.例35对于函数，则一般地，（阶导数）（阶微分）例36设函数.证明：.证一方面，函数在点

2、0是连续的，因为129129§2-9高阶导数和高阶微分·泰勒公式另一方面，[点0的导数等于点0近旁导数的极限]因此，一阶导数在点0是连续的.一般地，当时，容易看出，对于任何正整数，[其中为关于的多项式]且根据洛必达法则，(※)于是，因为一阶导数在点0是连续的，根据式(※)，所以且在点也是连续的.依次类推(或用数学归纳法)，可得2.泰勒公式一个次多项式中，它的系数与有什么关系呢？显然，；又因为所以，，，，，因此，129129§2-9高阶导数和高阶微分·泰勒公式⑴带皮亚诺余项的泰勒公式对于一般的函数，若它在某点有一阶导数(即可微分)，根据定义，则

3、有即若函数在点有二阶导数，令则有即.因此，一般地，用相同的方法可以证明下面的结论(请你完成它的证明).泰勒定理1若函数在点有阶导数，则函数在点有展开式与上面多项式的情形不同，这里多出最后的“余项”，称它为皮亚诺(G.Peano)余项.上面的展开式就称为函数在点带皮亚诺余项的阶泰勒公式.需要指出，习惯上把函数在点的泰勒公式称为麦克劳林(Maclaurin)公式（*）《微积分学教程》([俄]菲赫金哥尔茨著)中说,这是没有根据的。.特别，根据例33、例34和例35中的高阶导数公式，则有，，，.⑵带拉格朗日余项的泰勒公式假若函数在含点的某区间内有一阶

4、导数129129§2-9高阶导数和高阶微分·泰勒公式，根据微分中值定理，当足够小时，则有（拉格朗日公式）或一般情形下，有下面的结论.泰勒定理2若函数在点及其近旁有阶导数，则在点及其近旁有其中余项称为拉格朗日余项，而称上面的展开式为带拉格朗日余项的阶泰勒公式.特别，当时，泰勒公式就是拉格朗日公式.证为书写简单起见，以下记，并考虑等式（※）其中为待定数(当确定后，它是常数).作辅助函数它在区间上满足罗尔定理的条件，所以有使；而所以.因此，在区间上满足罗尔定理的条件，所以又有使.依次类推，就会有使，而且.最后，函数在区间上满足罗尔定理的条件，所以有

5、使，即.因此，把它代入式(※)，则得129129§2-9高阶导数和高阶微分·泰勒公式因为其中，所以它就是泰勒公式其中余项需要指出，习惯上也把函数在点的泰勒公式称为麦克劳林公式.其中余项(拉格朗日余项)总结：令，则和都称为泰勒公式，但有下面的不同处：第一，前者只假设在点有阶导数，并且推广了；后者要假设在含点的某个区间内有阶导数，并且推广了拉格朗日公式第二，前者的余项只给出极限形式，不能估计近似公式（泰勒多项式）的误差，而后者的余项给出的是有限形式，能够用来估计上述近似公式的误差，即譬如，近似计算函数在点近旁的函数值时，可由给出的精确度和的变化范

6、围，根据上面的估计式，确定多项式的次数；或者根据次数和的变化范围，确定一个近似公式的精确度.例37设.因为，所以.因此，函数的麦克劳林公式为129129§2-9高阶导数和高阶微分·泰勒公式由此得近似公式问：当时，取多么大的，才能使这个近似公式的精确度.解当时，经过试算，只要取，近似公式()的误差不超过，因为例38函数的n阶导数为，所以，函数的麦克劳林公式为其中余项的拉格朗日形式为取，则有近似公式而误差习题1.求：其中⑴；⑵(为常数)；⑶；⑷；⑸(提示：)；129129§2-9高阶导数和高阶微分·泰勒公式⑹(提示：)；⑺；⑻(提示：)；⑼.答案

7、：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺；⑻；⑼.2.将多项式表示成的正整指数幂的多项式.提示：选取.答案：.3.设为次多项式.证明：是的重根的充分必要条件为4.求极限提示：.答案：.5.求极限.答案：.提示：首先作恒等变换然后注意，.6.若函数在点有直到阶的导数，且证明：⑴当为偶数且时，是极大值；⑵当为偶数且时，是极小值；129129§2-9高阶导数和高阶微分·泰勒公式⑶当为奇数时，不是函数的极值点，而是函数的拐点.【注】函数在点取到极小值(也是最小值)，而.这说明题中的条件是函数取到极值的充分条件，不是必要条件！7.设函数在区间上有二阶导数，且.证明

8、：至少存在一点，使提示：取区间的中点，根据带拉格朗日余项的泰勒公式，则①②8.设函数在区间内有二阶导数.若证明：.提示：根据带拉格朗日的泰勒公式，对于任意正数，从而