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1、2001年10月系统工程理论与实践第10期文章编号:1000-6788(2001)10-0083-05均衡度与变权12蔡前凤,李洪兴(1.广东工业大学应用数学系,广东广州510090;2.北京师范大学数学系,北京100875)摘要:针对常权综合模型不能满足决策人的“均衡”原则的缺陷,提出了均衡度的概念,建立了基于均衡度的综合模型,并利用均衡度给出了均衡函数的新的构造形式.关键词:均衡度;变权;均衡函数中图分类号:O159文献标识码:A⒇BalanceDegreeandVariableWeight12CAIQian-feng,LIHong-xing(1.DepartmentofApp
2、liedMathematics,GuangdongUniversityofTechnology,Guangzhou510090,China;2.DepartmentofMaths,BeijingNormalUniversity,Beijing100875,China)Abstract:Inthispaper,theconceptofbalancedegreeispresented,onenewmultifactorialmodel,basedonthisnewconcept,isgiven,andthennewstructureofbalancefunctionsisgainedb
3、yutilizingbalancedegree.Keywords:balancedegree;variableweight;balancefunctions1问题的提出n形如M(X)=∑wixi的模型称为常权模型,其中W=(w1,…,wn)称为常权向量,X=(x1,…,xn)i=1称为决策向量.常权模型在诊断、识别、工程等领域中普遍使用,其主要优点在于模型简单,并考虑了各因素的相对重要性,使综合值在一定程度上反映了各因素的综合优度,但也有难以克服的缺点.比如,这种模型不能反映决策者对于组态的偏好要求.因此,在处理实际问题时,会出现不合理的现象.这里,组态是指决策向量X=(x1,…,
4、xn)的相对取值水平.如(0.5,0.5)表示绝对均衡的组态水平,(0.1,0.9)表示相对差异程度很大的组态水平.例1考虑某项工程设计,它是否可以实施与两个重要的因素有关:f1={可行性},f2={必要性},假定这两个因素同等重要,则它们的权向量为W=(0.5,0.5).有两个待定方案A:X1=(0.5,0.5);B:X2=(0.1,0.9).利用常权模型求得评价值分别为M(X1)=0.5×0.5+0.5×0.5=0.5;M(X2)=0.5×0.1+0.5×0.9=0.5,即方案A与方案B的评价值完全相同.显然这是不合理的.因为方案B尽管非常必要,却不可行,实际生活中决策人是不会
5、选择B的.为什么会产生这种不合理的现象呢?我们来分析一下二维的常权模型.图1是常权模型的三维图形的等优曲线分布图,为一组平行直线,法向量为权向量W=(0.5,0.5),边缘点(0,1)与(0.5,0.5)位于同一等优线上,并没有考虑状态的不均衡对综合评价值的影响,而例1需考虑决策人对状态均衡的偏好程度,因而应有(0.5,0.5)(0,1),边缘点的综合评价值小于(0.5,0.5)的综合评价值,在几何图形上表现为图1转变为图2.即等优线只有凹向理想点(1,1)才能体现决策人的均衡要求,并且等优线的弯曲程度体现了决策人的均衡偏好程度.因⒇收稿日期:2000-02-2184系统工程理论与
6、实践2001年10月此,常权模型的缺憾在于缺乏一个根据组态变化与决策人的均衡偏好调节曲线弯曲程度的量.图1图2为了弥补常权模型的缺憾,汪培庄在[1]中提出了变权的思想,李洪兴在文献[4]中提出了变权原理,本文将从一种新的角度来研究——均衡度的概念,并发现这两种思想是有着内在联系的.2均衡度的概念定义2.1如果映射b:XnRn→[0,1],满足1)b(X)=b(Y),其中Y是X的一个重排,满足y1≤y2≤…≤yn;2)X≠0时,b(x,…,x)=1;3)X≠0时,b(x1,…,xn)关于xj连续,j∈{1,…,n};nn4)b(x1,…,xn)随∧xj增加而增加,b(x1,…,xn)
7、随∨xj增加而减少;j=1j=15)XY时,b(X)>b(Y),其中“”为偏好序,体现人对均衡的偏好关系;则称b为X的均衡度.定义2.2如果d:XnRn→[0,1],满足1)d(X)=d(Y),其中Y为X的重排,满足y1≤y2≤…≤yn;2)X≠0时,d(x,…,x)=0;3)X≠0时,d(x1,…,xn)关于xj连续,j∈{1,…,n};nn4)d(x1,…,xn)随∧xj增加而减少,d(x1,…,xn)随∨xj增加而增加;j=1j=15)XY时,d(X)
