利用数形结合思想求解

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1、第4讲利用数形结合思想求解一、方法技巧1.数形结合的思想就是根据数（量）与形（图）的对应关系，把数与形结合起来进行分析研究，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来；使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化；通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种思想方法。2数形结合的思想，其应用大致可以分为两种情形：一是“数”中构“形”，用形解决数的问题，常见于借用数轴、函数图像、几何图形来求解代数问题，可使代数问题几何化，二是“形”中觅“数”，用数解决形的问题，常见于运用恒等变形、建立方程（组）、面积转换等求解几何问题，可使几何问题代数化.3.数形结合思想在初

2、中数学中应用非常广泛，本讲主要讲解：（1）借助函数图像求解方程（组）、不等式（组）；（2）借助数轴化简绝对值；（3）构造数学模型解实际问题二、应用举例类型一借助函数图像求解方程（组）、不等式（组）（一）借助一次函数图象求解【例题1】（2015·辽阳）如图，直线与（且a，b为常数）的交点坐标为（3，﹣1），则关于x的不等式的解集为（）A．x≥﹣1B．x≥3C．x≤﹣1D．x≤3【答案】D【解析】试题分析：函数与（且a，b为常数）的交点坐标为（3，﹣1），求不定式的解集，就是看函数在什么范围内的图象对应的点在函数的图象上面.试题解析：解：从图象得到，当x≤

3、3时，的图象对应的点在函数的图象上面，∴不等式的解集为x≤3．故选D．考点：一次函数与一元一次不等式．点评：本题考查了一次函数与不等式（组）关系及数形结合思想的运用.解决此题的关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合.【难度】较易（二）借助一次函数与反比例函数图象求解【例题2】（2015·营口）如图，在平面直角坐标系中，A（－3，1），以点O为直角顶点作等腰直角三角形AOB，双曲线在第一象限内的图象经过点B，设直线AB的解析式为，当时，的取值范围是（）．A．B．或C．D．或【答案】D【解析】试题分析：由△AOB是等腰直角三角形，

4、先求B点坐标，然后利用待定系数法可求双曲线和直线的解析式，然后将与联立，求得双曲线与直线交点的横坐标，然后根据图像即可确定出x的取值范围.试题解析：解：如图所示：∵△AOB是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∵点A的坐标为（-3,1），∴点B的坐标为（1,3），将B（1,3）代入反比例函数的解析式得：，∴k=3，∴，将A（-3,1），B（1,3）代入直线AB的解析式得：，解得：，∴直线AB的解析式为,将与联立得：，解得：，，当y1＞y2时，双曲线位于直线上方，∴x的取值范围是：x＜-6或0＜x＜1.故选D.考点：反比例函数与一次函数的交点问题点评：本题主要

5、考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求得双曲线和直线的交点坐标是解题的关键，同时本题还考查了函数与不等式的关系：从函数角度看，y1＞y2就是双曲线位于直线上方部分所有点的横坐标的集合；从不等式的角度看，y1＞y2就是求不等式的解集.【难度】一般【例题3】如图，直线y＝k1x＋b与双曲线相交于A（1，2），B（m，－1）两点．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且x1＜x2＜0＜x3，请直接写出y1，y2，y3的大小关系式；（3）观察图象，请直接写出不等式的解集．【答案】（1

6、）y＝x＋1（2）y2＜y1＜y3（3）x＞1或－2＜x＜0【解析】试题分析：（1）将A坐标代入反比例解析式中求出k2的值，确定出双曲线解析式，将B坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出k1与b的值，即可确定出直线解析式。（2）根据三点横坐标的正负，得到A2与A3位于第一象限，对应函数值大于0，A1位于第三象限，函数值小于0，且在第一象限为减函数，即可得到大小关系式：∵x1＜0＜x2＜x3，且反比例函数在第一象限为减函数，∴A2与A3位于第一象限，即y2＞y3＞0，A1位于第三象限，即y1＜0，则y2＞y3＞

7、y1。（3）由两函数交点坐标，利用图象即可得出所求不等式的解集.试题解析：解：（1）∵双曲线经过点A（1，2），∴k2＝2，∴双曲线的解析式为．∵点B（m，－1）在双曲线上，∴m＝－2，则B（－2，－1）．由点A（1，2），B（－2，－1）在直线y＝k1x＋b上，得解得：,∴直线的解析式为y＝x＋1．（2）∵在第三象限内y随x的增大而减小，∴y2＜y1＜0．又∵y3是正数，故y3＞0，∴y2＜y1＜y3．（3）由A（1,2），B（-2,-1），当，即y1＞y2时，利用函数图像可知直线在双曲线上方的横坐标即为所求，∴x＞1或－2＜x＜0．考点：反比例函数

8、与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系.点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问