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《圆锥曲线上的最值问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、例说圆锥曲线有关最值问题浙江省镇海中学周海军中学数学最值问题遍及代数、三角，立体几何及解析几何各科之中，且与生产实际联系密切，同时它又是进一步学习高等数学中最值问题的基础。因此，最值问题历来是各类考试的热点。最值问题有两个特点应引起重视：①一个最值问题常常覆盖多个知识点（如二次曲线标准方程，各元素间关系，对称性，四边形面积，解二元二次方程组，基本不等式等）②求解过程牵涉到的数学思想方法也相当多（诸如配方法，判别式法，参数法，不等式，函数的性质等）计算量大，能力要求高。因此本文拟提供如下常见求法：1、回到定义例1、已知椭圆
2、，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）求的最小值；（2）求
3、PA
4、+
5、PB
6、的最小值和最大值。略解：（1）A为椭圆的右焦点。作PQ⊥右准线于点Q，则由椭圆的第二定义，∴.问题转化为在椭圆上找一点P，使其到点B和右准线的距离之和最小，很明显，点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为。（2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点，则
7、PA
8、=2a-
9、PC
10、∴
11、PA
12、+
13、PB
14、=2a-
15、PC
16、+
17、PB
18、=10+(
19、PB
20、-
21、PC
22、)根据三角形中，两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一
23、条直线时，便可取得最大和最小值。即-
24、BC
25、≤
26、PB
27、-
28、PC
29、≤
30、BC
31、.当P到P"位置时，
32、PB
33、-
34、PC
35、=
36、BC
37、，
38、PA
39、+
40、PB
41、有最大值，最大值为10+
42、BC
43、=；当P到P"位置时，
44、PB
45、-
46、PC
47、=-
48、BC
49、，
50、PA
51、+
52、PB
53、有最小值，最小值为10-
54、BC
55、=。回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用。另外，（2）中的最小值还可以利用椭圆的光学性质来解释：从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点，而光线所经过的路程总是最短的。2、利用闭区间上二次函数最值的求法例2、在抛物线上求一点，
56、使它到直线y=4x-5的距离最短。解：设抛物线上的点，点Ｐ到直线4x-y-5=0的距离当时，，故所求点为。例3、已知一曲线，（１）设点A的坐标为，求曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离
57、PA
58、；（２）设点A的坐标为（a,0）a∈R，求曲线上点到点A距离最小值d，并写出d=f（a）的函数表达式。解：（1）设M（x,y）是曲线上任意一点，则∵x≥0∴ 所求P点的坐标是（0，0），相应的距离是（2）设M（x,y）是曲线上任意一点，同理有 综上所述，有3、运用函数的性质例4、在△ABC中，，，的对边分别为a,b,c，且
59、c=10,，P为△ABC内切圆上动点，求点P到顶点A，B，C的距离的平方和最大值与最小值。解：由∵ ∴ ∴△ABC为Rt△由C=10，且知 a=6b=8设△ABC内切圆半径为r，如图建立直角坐标系，则Rt△ABC的内切圆M的方程为：设圆M上动点P（x,y）()，则P点到顶点A，B，C的距离的平方和为 ＝88-4x∵点P在内切圆M上，，于是 例5、直线m：y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A，B两点，直线L过点P（-2，0）和线段AB的中点M，求L在y轴上的截距b的取值范围。略解：设A（x1,y1），B（
60、x2,y2），M（x0,y0），将y=kx+1代入x2-y2=1得（1-k2)x2-2kx-2=0,由题意，△>0且x1+x2<0,x1x2>0,解之得,且M,又由P（-2，0），M，Q（0，b）共线，得，即下面可利用函数f(k)=-2k2+k+2在上是减函数，可得。例6、已知P是椭圆在第一象限内的点，A（2，0），B（0，1），O为原点，求四边形OAPB的面积的最大值。略解：设P（2cosθ,sinθ），(0<θ<л/2),点P到直线AB：x+2y=2的距离∴所求面积的最大值为本例利用三角函数的有界性。反过来，有些代数
61、最值问题可以转化为解析几何问题，利用几何直观来解决，如参考练习中的5。4、判别式法例7、定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标。解：设点Ａ、Ｂ的坐标分别为，，那么，①由题意，得②，又AB的中点M（x,y）到y轴的距离为③，将①③代入②整理得④，∵ 为实数，故 △＝又∵ x>0得⑤，当时，△＝０ 由④解得⑥，，可得⑦，由⑥，⑦可得，，由①即得相应的，。故AB的中点M距y轴最短距离为，且相应的中点坐标为或。法二： ∴ ∴ ∵ ① ②由①－②２得 ③①
62、＋③得 ④④代入①得 当且仅当 时等式成立。∴ 说明：此法即为下面的基本不等式法。5、利用基本不等式例8、已知椭圆，F1，F2为其两焦点，P为椭圆上任一点。求：（1）
63、PF1
64、
65、PF2
66、的最大值；（2）
67、PF1
68、2+
69、PF2
70、2的最小值。略解：设
71、PF1
72、=m,
73、PF2
74、=n,则m+n=2a=4，
75、PF
