数学形态学分形维数广义估算方法及其应用

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1、数学形态学分形维数广义估算方法及其应用王冰1，李洪儒1，许葆华1（军械工程学院导弹工程系，河北石家庄050003）国家自然科学基金资助项目：51275524，“基于模型-传感器信息融合的典型液压设备故障预测方法研究”摘要：预测特征提取是设备故障预测中的关键问题，它直接关系到故障预测的可信性。滚动轴承故障信号具有典型的非线性特征，利用分形维数可以定量描述其复杂性和不规则度。本文首先对分形维数的形态学计算方法进行介绍，然后对形态学覆盖的定义进行扩展，提出了三种形态学分形维数广义估算方法，对其精确性和计算效率进行了对比分析。最后，提出基于形态学分形维数的和

2、灰色关联分析的性能退化状态识别方法，采用轴承实测数据验证了该方法的有效性。关键词：数学形态学；分形维数；轴承；性能退化；灰色关联分析中图分类号：TP306文献标识码：A文章编号：引言滚动轴承是旋转机械中的关键性元件，由于长期受到载荷、安装、润滑状态等因素的影响，轴承极易受到损伤，进而影响整个机械设备的性能。因此，轴承一直都是设备状态监测与故障诊断领域的热门研究对象[1]。随着维修理论的发展，基于状态的维修越来越得到人们关注。故障预测技术是实现基于状态维修的关键。主要包括三个方面：运行状态的特征提取；退化状态识别；故障预测[2-3]。其中，运行状态特征

3、提取是实现退化状态识别和故障预测的基础。直接影响退化状态识别的准确性和故障预测的可信性[4]。其着眼点在于特征信息对设备性能退化程度的量化反应能力，而非对不同故障模式的区分能力。文献[4-5]提取并选取小波相关特征尺度熵作为预测特征指标；文献[6-7]以小波包分解后的节点能量作为特征向量，定量评估样本的退化程度；文献[8]将通过循环平稳分析得到的组合切片累积能量作为预测特征值，均取得了较好的效果。滚动轴承故障振动信号是一种典型的非平稳、非线性信号。分形维数则可以定量描述其复杂性和非线性。常见的分形维数有关联维数、盒维数、信息维数等，其中，盒维数应用最

4、为广泛[9]。但由于现有的盒维数估计方法不准确[10]，文献[11]提出一种基于数学形态学的分形维数计算方法，该方法计算量小，计算结果稳定且准确，已在轴承故障诊断领域得到了有效的应用[12-13]。本文在基于数学形态学的分形维数计算方法基础上，提出三种形态学分形维数广义估算方法，以FBM仿真信号为例对其准确性和适用性进行分析。以此为基础，提出基于数学形态分形维数与灰色关联分析的退化状态识别方法。并采用实测数据对该方法进行验证。1基于数学形态学的分形维数计算方法分形维数可以定量描述分形对象的复杂程度。在各种分形维数中，盒维数的应用最为广泛。然而盒维数的

5、计算过程由于对信号进行规则的网格划分，因此影响了估算的精度[10]。针对此问题，文献[11]提出一种基于数学形态学的分形维数估计方法。具体过程如下。假设离散时间信号为f(n)，n=1,2,…,N，单位结构元素为g，则在尺度下所使用的结构元素定义为[18]:(1)定义尺度对信号的覆盖面积为：(2)根据文献[6]证明，覆盖面积满足如下条件：(3)其中DM为信号的形态分形维数，c为常数，为分析信号的最大尺度。对和进行最小二乘线性拟合即可得到对信号形态分形维数的估计。2数学形态学的分形维数广义估算方法2.1基于数学形态学的分形维数广义估算方法从几何意义上分析

6、，在上述方法中，由(2)式所定义的形态学覆盖面积是为信号f(n)以结构元素进行膨胀和腐蚀运算后的差分，即形态梯度，本文称该方法为基于形态梯度的形态覆盖定义方法。为了分析其他形态学算子在形态学覆盖定义中的有效性，本文提出三种形态学覆盖广义定义，其表达式如下：（4）（5）（6）根据覆盖面积的定义方式，式(4)-(6)分别定义为基于形态膨胀、形态腐蚀和形态差值的形态学覆盖。以形态学覆盖面积的广义定义为基础，通过最小二乘线性拟合即可得到对信号分形维数的广义估计。2.2仿真分析为了验证三种形态学覆盖广义定义在计算中的有效性，采用FBM信号进行仿真分析。分数布朗

7、运动(fbm)是描述时间(或空间)长程相关、功率谱满足指数规律、增量服从正态分布的非平稳随机过程的数学模型之一，是用来描述自然界随机分形一种常用的分形模型，满足如下定义[14]:（8）其中，是常量，为标准高斯随机过程。H(0

8、(a)D=1.5(a)D=1.9图1不同分形维数下的FBM时域波形Fig.1Timedomainwavefo