与圆锥曲线有关的最值问题

与圆锥曲线有关的最值问题

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1、与圆锥曲线有关的最值问题如果函数y=f(x)在点的附近有定义,并且的值比在附近所有各点的函数值都大(或都小),那么称是函数f(x)的极大值(或极小值)。函数y=f(x)在区间内有定义,如果在上的一点处的函数值不小于(或不大于)函数在上其余各处的函数值,那么称是函数y=f(x)在区间上的最大值(或最小值)。函数y=f(x)在区间上的最大值是区间端点处的函数值f(a)、f(b)及所有极大值中的最大者;最小值则是在上的f(a)、f(b)及所有极小值中的最小者。与圆锥曲线的关的最值问题,往往是圆锥曲线的知识与函数内容的综合。下面分类介绍解析几何中求最值的

2、方法一、平面几何法例1、在抛物线上求一点M,使点M致到点A(1,0)和点B(3,2)两点距离之和最小,并求这最小值。xyMABloN解:如图,作抛物线的准线l:x=-1,再作于N点。为抛物线的焦点,显然,B、M、N三点共线且直线时,

3、MN

4、+

5、MB

6、最小,也即

7、MA

8、+

9、MB

10、最小。此时M(1,2)例2、已知点O(0,0)、B(m,0)(m>0),动点P到O、P的距离之比为2:1,求(1)P点的轨迹方程;(2)P点在什么位置时,三角形POB的面积最大,并求出最大面积。yxABPP`P``o解:(1)设P(x,y)由已知,

11、PO

12、:

13、PB

14、=2:1

15、化简,得即P点轨迹为以A为圆心,为半径的圆。(2)如图,三角形POB的一边OB(定长)在x轴上,另一顶点P在以A点为圆心的圆上,由平面几何知识,知当P点是与x轴垂直的直径的两端时,三角形POB的面积最大。过点A且与x轴垂直的直线方程为它与圆A交于故P点坐标为时,三角形POB的面积最大,其值为例3、已知A(4,0)、B(2,2)是椭圆内的两定点,M是椭圆上一动点,求

16、MA

17、+

18、MB

19、的最值。解:设椭圆左焦点为A`(-4,0)。显然A(4,0)为椭圆右焦点,因而由椭圆定义得

20、MA

21、+

22、MA`

23、=10xyoMABA`xyoA`AMB如上图所示:

24、MA

25、

26、+

27、MB

28、=

29、MA

30、+

31、MA`

32、+

33、MB

34、-

35、MA

36、=10+

37、MB

38、-

39、MA`

40、如下图所示:

41、MA

42、+

43、MB

44、=

45、MA

46、+

47、MA`

48、+

49、MB

50、-

51、MA

52、=10-(

53、MA`

54、-

55、MB

56、)说明:在用平面几何法求最值问题时,主要利用平面几何的以下几个重要概念:(1)两点间线段最短;(2)点到直线的一切线段中,垂线段最短。(3)同圆的一切弦中,直径最长。二、一次函数法例4、三角形ABC中,AB=3,BC=4,AC=5,圆O为内切圆,设P为圆上一点,求发PA、PB、PC为直径的三圆面积之和的最值。xyoABCEPD解:如图,以圆心O为原点,以过O且平行于B

57、C的直线为x轴,建立直角坐标系,设P(x,y)。易知A(-1,2)、B(-1,-1)、C(3,-1)则所求面积之和为:例5、已知椭圆两焦点为M点为椭圆上动点,求f(M)的最值,并求此时M点的坐标。由已知,a=5,b=4,c=3三、二次函数法例6、P为抛物线上的动点,求P点到直线4x+3y+46=0的最短距离。解:设P(x,y)则P点到直线4x+3y+46=0的距离yxoPxyoM四、判别式法例7、求曲线的最高点、最低点的坐标.解:曲线化为:化简,得解之,得因此,所求最高点为(6,9),最低点为(4,5)例8、A、B为抛物线上两个动点,且

58、AB

59、=

60、3,线段AB中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求此时M点的坐标。将(1)、(2)代入(3)得:yxoABM又AB中点M到y轴距离代入(4),得化简,得所以,此时M点纵坐标为因此,M点到y轴最短距离为此时M点坐标为五、切线性质法例9、已知P(x,y)为椭圆上任一点,求u=2x+3y的最值。解:由u=2x+3y,得求u的最值,就是求与椭圆有公共点且斜率为的平行直线系在y轴上截距的最值。xyoxoyMNBA由切线性质可知,当直线与椭圆相切时,u取最值.椭圆的切线方程为例10、已知A(3,1)、B(-2,-2)是椭圆上两定点,M、N是椭圆上位于直线AB

61、两旁的两动点,求四边形AMBN的最大面积。分析:如图所示,都平行于直线AB时,过M、N的四边形AMBN有最大面积。六、三角法例11、已知动点P(x,y)在曲线上运动,求x,y各取何值时,代入原方程,得CPRQAxyo例12、如图,已知点P是圆C:上一点,它关于定点A(5,0)的对称点为Q,当点P绕圆心C(5,5)依逆时针旋转时,所得点记作R,当点P在圆C上移动时,求

62、QR

63、的最值。解:设P点、R点坐标为R点坐标亦即CABoxy七、平均值定理法例13、如图,平面直角坐标系中,在y轴正半轴上给定两点A、B,试在x轴正半轴上求一点C,使取得最大值。说明

64、:此题是1986年高考(理科)试题,解此题的关键是通过三角变换,构造出关系式(1),再利用平均值定理求解.例14、以双曲线xy=a(0<

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