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1、动点的轨迹问题轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。求轨迹方程的的基本步骤：建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”）注意事项：1.求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。来表示，
2、若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。3.求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。4．求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。【典型例题选讲】一、直接法题型：例1已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为，动点M到圆C的切线长与的比等于常数，求动点M的轨迹。解：设MN切圆C于N，则。设，则化简得（1）当时，方程为，表示一条直线。（2）当时，方程化
3、为表示一个圆。说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。变式--如图，圆与圆的半径都是1，，过动点P分别作圆、圆的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得．试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．6解：以的中点O为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则由已知可得：因为两圆的半径均为1，所以设，则，即所以所求轨迹方程为：（或）二、定义法题型：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。已知圆O的方程为x2+y2=100,点A的坐标为（-6，0），M为圆
4、O上任一点，AM的垂直平分线交OM于点P，求点P的方程。解：由中垂线知，故，即P点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P点的方程为三、代入法题型：例3如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨迹方程。解：设动点P的坐标为（x,y）,点Q的坐标为（x1,y1）则N（2x-x1,2y-y1）代入x+y=2,得2x-x1+2y-y1=2①又PQ垂直于直线x+y=2，故，即x-y+y1-x1=0②由①②解方程组得,代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0四、参数法与点差法题型：求轨迹方程有时很难
5、直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。例4经过抛物线y2=2p(x+2p)(p>0)的顶点A作互相垂直的两直线分别交抛物线于B、C两点，求线段BC的中点M轨迹方程。解：A（-2p,0）,设直线AB的方程为y=k(x+2p)(k0).与抛物线方程联立方程组可解得B点的坐标为，由于AC与AB垂直，则AC的方程为，与抛物线方程联立方程组可解得C点的坐标为6，又M为BC中点，设M（x,y）,则，消去k得y2=px,即点M的轨迹是抛物线。巩固与提高：1〉在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2
6、上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图4所示）.求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；【解析】解法一：以OA的斜率k为参数由解得A（k，k2）∵OA⊥OB，∴OB：由解得B设△AOB的重心G（x，y），则消去参数k得重心G的轨迹方程为解法二：设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则（1）∵OA⊥OB∴,即，……(2)又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得∴所以重心为G的轨迹方程为。2〉如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.求△APB的重心
7、G的轨迹方程.【解析】设切点A、B坐标分别为，∴切线AP的方程为：6切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以△APB的重心G的坐标为，所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：五、交轨法与几何法题型求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。例5抛物线的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。（考例
