贵州省贵阳市花溪第二中学九年级数学竞赛讲座 26第二十六讲 开放性问题评说

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1、【例题求解】【例1】如图，⊙O与⊙O1外切于点T，PT为其内公切线，AB为其外公切线，且A、B为切点，AB与PT相交于点P，根据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个正确结论，并加以证明．(杭州市中考题)思路点拨为了能写出更多的正确结论，我们可以从以下几分角度作探索，线段关系，角的关系、三角形的关系及由此推出的相应结论．注：明确要求将数学开放性题作为中考试题，还是近一二年的事情．开放性问题没有明确的目标和解题方向，留有极大的探索空间．⌒解开放性问题，不具有定向的解题思路，解题时总要有合情合理、实事求是的分析，要把归纳与演绎协调配合起来，把直觉发现与逻辑推理相互结合

2、起来，把一般能力和数学能力同时发挥出来．杭州市对本例评分标准是以正确结论的难易程度为标准灵活打分，分值直接反映考生的能力及创新性．【例2】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，A是BD的中点，过A点的切线与CB的延长线交于点E．⌒(1)求证：AB·DA=CO·BE；(2)若点E在CB延长线上运动，点A在BD上运动，使切线EA变为割线EFA，其他条件不变，问具备什么条件使原结论成立?(要求画出示意图，注明条件，不要求证明)第9页（共9页）(北京市海淀区中考题)思路点拨对于(2)，能画出图形尽可能画出图形，要使结论AB·DA=CD·BE成立，即要证△ABE∽△CDA

3、，已有条件∠ABE=∠CDA，还需增加等角条件，这可由多种途径得到．注：许多开放性问题解题思路也是开放的(多角度、多维度思考)，探索的条件或结论并不惟一．故解开放性问题，应尽可能深入探究，发散思维，提高思维的品质，切忌入宝山而空返．【例3】(1)如图1，若⊙O1与⊙O2外切于A，BC是⊙O1与⊙O2外公切线，B、C为切点，求证：AB⊥AC．(2)如图2，若⊙O1与⊙O2外离，BC是⊙O1与⊙O2的外公切线，B、C为切点，连心线O1O2分别交⊙O1、⊙O2于M、N，BM、CN的延长线交于P，则BP与CP是否垂直?证明你的结论．(3)如图3，若⊙O1与⊙O2相交，BC

4、是⊙O1与⊙O2的公切线，B、C为切点，连心线O1O2分别交⊙O1、⊙O2于M、N，Q是线段MN上一点，连结BQ、CQ，则BQ与CQ是否垂直?证明你的结论．思路点拨本例是在基本条件不变的情况下，通过运动改变两圆的位置而设计的，在运动变化中，结论可能改变或不变，关键是把(1)的证法类比运用到(2)、(3)问题中．注：开放性问题还有以下呈现方式：(1)先提出特殊情况进行研究，再要求归纳猜测和确定一般结论；(2)先对某一给定条件和结论的问题进行研究，再探讨改变条件时其结论应发生的变化，或改变结论时其条件相应发生的变化．第9页（共9页）【例4】已知直线(>0)与轴、轴分别

5、交于A、C两点，开口向上的抛物线过A、C两点，且与轴交于另一点B．(1)如果A、B两点到原点O的距离AO、BO满足AO＝3BO，点B到直线AC的距离等于，求这条直线和抛物线的解析式；(2)是否存在这样的抛物线，使得tan∠ACB=2，且△ABC外接圆截得轴所得的弦长等于5？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．(无锡市中考题)思路点拨(1)通过“点B到直线AC的距离等于”，利用等积变换求出A、B两点的距离；(2)先假设存在这样的抛物线，再由条件推理计算求得，最后加以验证即可．注：解存在性开放问题的基本方法是假设求解法，即假设存在→演绎推理→得出结

6、论(合理或矛盾)．【例5】如图，这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把它与正三角形的接近程度称为“正度”．在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等．设等腰三角形的底和腰分别为、，底角和顶角分别为、．要求“正度”的值是非负数．同学甲认为：可用式子来表示“正度”，的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；同学乙认为：可用式子来表示“正度”，的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形．探究：（1）他们的方案哪个较为合理，为什么?(2)对你认为不够合理的方案，请加以改进(给出式子即可)；第9页（共9页）（3）请再给出一种衡量“正度”的表达式．(安徽省中考题)思路点

7、拨通过阅读，正确理解“正度”这个新概念，同时也要抓住“在研究‘正度’时，应保证相似三角形的‘正度’相等”这句话的实质，可先采取举实例加深对“正度”的理解，再判断方案的合理性并改进方法．注：（1）解结论开放题往往要充分利用条件进行大胆而合理的猜想，通过观察、比较、联想、猜测、推理和截判断等探索活动，发现规律，得出结论．（2）阅读是学习的重要途径，在这种阅读型研究性问题中，涌现了许多介绍新的知识和新的研究方法的问题，能极大地开阔我们的视野．（3）研究性学习是课程改革的一个亮点，研究性学习是美国芝加哥大学教授施瓦布在《作为探究的科学教学》的演讲时提出的．他主张引导学生直

8、接用科学研