第6章习题完整解答.doc

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1、第六章定积分及其应用习题6-11．应用定积分的定义计算下列定积分：（1）（2）解答：（1）由于被积函数在区间上连续，故积分存在，且它与区间的分法及点的取法无关，为便于计算，将区间进行等分，得小区间长度为，在小区间上取右端点，作积分和，于是，即；（2）将区间进行等分，得小区间长度为，在小区间上取右端点，作积分和，于是，即．难度：二级2．用定积分的几何意义求下列定积分的值：（1）（2）（3）解答：（1）由定积分的几何意义，表示以原点为圆心、半径为的圆在第一象限中部分的面积，故；102（2）由定积分的几何意

2、义，表示正弦曲线在上与轴所围图形面积的代数和，由于轴上下部分面积相等，；（3）由定积分的几何意义，表示直线、与轴所围图形三角形面积，由于面积等于1，所以．难度：一级3．利用定积分求下列各式的极限：（1）已知求（2）已知求（3）已知求（4）已知求参考答案：(1);（2）ln2；（3）；（4）解答：（1）由于，所以；（2）；（3）102（4）．难度：二级4．用定积分的性质比较下列积分的大小：（1）与（2）与（3）与（4）与参考答案：（1）；（2）；（3）；（4）.解答：（1）因为在区间上，有，且等号仅在端

3、点取得，所以由定积分的性质有；（2）因为在区间上，有，且等号仅在左端点取得，所以由定积分的性质有；（3）因为在区间上，有，且等号仅在左端点取得，所以由定积分的性质有；（4）因为在区间上，有，且等号仅在端点取得，所以由定积分的性质有．102难度：二级习题6-21．求下列函数的导数：（1）（2）（3）设求（4）（5）设求（6）设求（7）设求（8）设求解答：（1）；（2）；（3）因为，所以，于是；（4）；此处最后一步用到．（5）因为，所以，102于是；（6）利用隐函数求导，在方程两边对求导，有，解得；（7）

4、利用参数方程求导，有；（8）利用参数方程求导，有，．难度：一级2．当x为何值时，函数有极值？解答：由于，所以，，当时，，而，所以当时函数有极小值．难度：二级3．当x为何值时，函数在区间上取最大值和最小值。参考答案：当x=1时，取最大值；当x=0时，取最小值.解答：由于，所以，在区间上，故函数在区间上单调增，于是当时，取最小值，当时，取最大值．难度：二级4．求下列各极限：102（1）（2）（3）（4）参考答案：（1）1；（2）12；（3）1；（4）解答：（1）利用洛比达法则，（2）利用洛比达法则，；（3

5、）利用洛比达法则，；（4）利用洛比达法则，．难度：二级5．设当A、B为何值时，f（x）在x=0处连续。参考答案：A=8,B=3.解答：由题意，，102，如果函数在处连续，那么，于是解得．难度：二级6．应用牛顿-莱布尼兹公式计算下列定积分：（1）；（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）解答：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）由于，102所以；另解：令，则，于是由牛顿-莱布尼兹公式，；（8）．难度：一级习题6-31．应用换元法计算下列积分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）

6、（8）（9）（10）解答：（1）令，则；（2）令，则；102（3）令，则；（4）令，则；（5）令，则；（6）令，则；（7）令，则；（8）令，则；（9）；（10）令，则．难度：(1)(2)(5)(6)(7)(8)一级,（3）（4）（9）（10）二级难度：二级2．利用分部积分法计算下列积分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）102（9）（10）解答：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7），解得；（8）；（9）　　　　　　　　　　；（10）移项，即得．102难度：二级3．设求解

7、答：．难度：二级4．设在上二阶可导，且且求解答：难度：二级5．已知求解答：由于所以，于是．难度：二级习题6-41．利用辛普森法近似计算下列积分（把区间分成6等分，精确到小数点后三位）：（1）（2）（3）解答：（1）102按辛普森公式，有；（2）按辛普森公式，有；（3）由计算公式，可得1.089.难度：二级2．函数由下列表格给出：4.60用辛普森法计算积分的近似值（精确到小数点后三位）解答：由计算公式，这里102所以．难度：二级3．计算并讨论下列广义积分的敛散性：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7

8、）（8）解答：（1）由于，原积分收敛；（2）由于不存在，故积分发散；（3），原积分收敛；（4），原积分收敛；（5）由于不存在，积分发散，从而原积分发散；（6）令，，原积分收敛；（7），原积分收敛；（8），原积分收敛。难度：二级4．计算并讨论下列广义积分的敛散性：102（1）（2）（3）（4）（5）解答：（1），原积分收敛；（2）由于不存在，所以原积分发散；（3），原积分收敛；（4）令，则，原积分收敛；（5）由于不存在，所以原积分发散。难度：二级习题6-5