利用导数研究函数的单调性(文 同步)

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1、同步课程˙利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性知识回顾1.初等函数的导数公式表，为正整数，为有理数注：，称为的自然对数，其底为，是一个和一样重要的无理数．注意．2.导数的四则运算法则：⑴函数和（或差）的求导法则：设，是可导的，则，即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）．⑵函数积的求导法则：设，是可导的，则，即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．由上述法则即可以得出，即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数．⑶函数的商的求导法则：16/16同步课程˙利用导数研究函数的单调性设，是可导的

2、，，则．特别是当时，有．知识讲解【定理】设函数在上连续，在内可导.（1）如果在内，那么函数在上单调增加；（2）如果在内，那么函数在上单调减少.【解读】设函数在某区间内可导，在该区间上单调递增；在该区间上单调递减.反之，若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）.求可导函数单调区间的一般步骤和方法1)确定函数的的定义区间；2)求，令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；3)把函数的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；4)确定在各个区间内的

3、符号，根据的符号判定函数在每个相应小区间内的增减性.【例1】函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)【例2】已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是(　　)A．0B．1C．2D．3【例3】三次函数在内是减函数，则（）A．B．C．D．【例4】设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f′(x)，g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且满足f′(x)g(x)＋16/16同步课程˙利用导数研究函数的单调性f(x)g′(x)<0，则当af(b)g(x

4、)B．f(x)g(a)>f(a)g(x)C．f(x)g(x)>f(b)g(b)D．f(x)g(x)>f(b)g(a)【例1】已知函数，若的单调递减区间是，则的值是．【例2】已知函数，若在上是单调增函数，则的取值范围是．【例3】已知是上的单调增函数，则的取值范围是（）A．或　　　　B．或C．　　　　　　　D．【例4】若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（　　）A．B．C．D．【例5】已知，，且在上是增函数，则此时实数的取值范围是______．【例6】若函数在内单调递减，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【例7】若函数的单调递区间为，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【例8】已知

5、对任意实数有，，且时，，，则时（）A．，B．，C．，D．，16/16同步课程˙利用导数研究函数的单调性【例1】已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为______．【例2】若函数在区间与上都是减函数，则实数的取值范围为______．【例3】已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.【例4】若函数f(x)＝在区间(m,2m＋1)上是单调递增函数，则实数m的取值范围是________．【例5】已知函数f(x)＝x2＋2x＋alnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是(　　)A．a≥0B．a<－4C

6、．a≥0或a≤－4D．a>0或a<－4【例6】若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是________．【例7】函数f(x)＝x3－px2＋2m2－m＋1在区间(－2,0)内单调递减，且在区间(－∞,－2)及(0,＋∞)内单调递增，则实数p的取值集合是________．【例8】设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.(1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，求实数a的值．(2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.16/16同步课程˙利用导数研究函数的单调性【例1】已

7、知函数．若函数在区间上不单调，求的取值范围．【例2】函数在区间上单调递增，求的取值范围．16/16同步课程˙利用导数研究函数的单调性【例1】已知函数，若在上是增函数，求的取值范围．【例2】设为实数，函数在和都是增函数，求的取值范围．16/16同步课程˙利用导数研究函数的单调性【例1】已知函数．⑴当时，求函数的单调递增区间；⑵若在区间上是减函数，求实数的取值范围．16/16同步课程˙利用导数研究函数的单调性【例1】设函数，若曲线的斜率最小的切线与