“多次相遇问题”解题技巧

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1、“多次相遇问题”解题技巧“多次相遇”问题有直线型和环型两种模型。相对来讲，直线型更加复杂。环型只是单纯的周期问题。一、直线型直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种。“两岸型”是指甲、乙两人从路的两端同时出发相向而行；“单岸型”是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行。（一）两岸型两岸型甲、乙两人相遇分两种情况，可以是迎面碰头相遇，也可以是背面追及相遇。题意如果没有明确说明是哪种相遇，对两种情况均应做出思考。1、迎面碰头相遇：如下图，甲、乙两人从A、B两地同时相向而行，第一次迎面相遇在a处，（为清楚表

2、示两人走的路程，将两人的路线分开画出）则共走了1个全程，到达对岸b后两人转向第二次迎面相遇在c处，共走了3个全程，则从第一次相遇到第二次相遇走过的路程是第一次相遇的2倍。之后的每次相遇都多走了2个全程。所以第三次相遇共走了5个全程，依次类推得出：第n次相遇两人走的路程和为（2n-1）S，S为全程。而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，分开看每个人都是2倍关系，经常可以用这个2倍关系解题。即对于甲和乙而言从a到c走过的路程是从起点到a的2倍。相遇次数全程个数再走全程数111232352472………n2n-122

3、、背面追及相遇与迎面相遇类似，背面相遇同样是甲、乙两人从A、B两地同时出发，如下图，此时可假设全程为4份，甲1分钟走1份，乙1分钟走5份。则第一次背面追及相遇在a处，再经过1分钟，两人在b处迎面相遇，到第3分钟，甲走3份，乙走15份，两人在c处相遇。我们可以观察，第一次背面相遇时，两人的路程差是1个全程，第二次背面相遇时，两人的路程差为3个全程。同样第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，单看每个人多走的路程也是第一次的2倍。依次类推，得：第n次背面追及相遇两人的路程差为（2n-1）S。（二）单岸型单岸型是两人同

4、时从一端出发，与两岸型相似，单岸型也有迎面碰头相遇和背面追及相遇两种情况。1、迎面碰头相遇：如下图，假设甲、乙两人同时从A端出发，假设全程为3份，甲每分钟走2份，乙每分钟走4份，则甲乙第一次迎面相遇在a处，此时甲走了2份，乙走了4份，再过1分钟，甲共走了4份，乙共走了8份，在b处迎面相遇，则第二次相遇多走的跟第一次相遇相同，依次类推，可得出：当第n次碰头相遇时，两人的路程和为2ns。2、背面追及相遇与迎面相遇相似，假设全程为3份，甲每分钟走1份，乙每分钟走7份，则第一次背面相遇在a处，2分钟后甲走了2份，乙走了1

5、4份，两人在b处相遇。第一次相遇，两人走的路程差为2S，第二次相遇两人走的路程差为4S，依次类推，可以得出：当第n次追及相遇时，两人的路程差为2ns。“直线型”总结（熟记）①两岸型：第n次迎面碰头相遇，两人的路程和是（2n-1）S。第n次背面追及相遇，两人的路程差是（2n-1）S。②单岸型：第n次迎面碰头相遇，两人的路程和为2ns。第n次背面追及相遇，两人的路程差为2ns。下面列出几种今后可能会考到的直线型多次相遇问题常见的模型：{模型一}：根据2倍关系求AB两地的距离。【例1】甲、乙两人在A、B两地间往返散步，

6、甲从A，乙从B同时出发，第一次相遇点距B60米，当乙从A处返回时走了10米第二次与甲相遇。A、B相距多少米？A、150B、170C、180D、200【答案及解析】B。如下图，第一次相遇在a处，第二次相遇在b处，aB的距离为60，Ab的距离为10。以乙为研究对象，根据2倍关系，乙从a到A，再到b共走了第一次相遇的2倍，即为60×2=120米，Ab为10，则Aa的距离为120-10=110米，则AB距离为110+60=170米。 {模型二}：告诉两人的速度和给定时间，求相遇次数。【例2】甲、乙两人在长30米的泳池内游

7、泳，甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5米。两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返。如果不计转向的时间，则从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇多少次？A、2B、3C、4D、5【答案及解析】B。题目没说是迎面还是背面，所以两种相遇的次数都应该计算。分开讨论，如是是迎面相遇，则走的全程的个数为个，根据迎面相遇n次，走的全程为2n-1=5，求得n=3；如果是背面相遇，则走的全程数为，故在1分50秒内，不能背面相遇。所以共相遇3次。{模型三}：告诉两人的速度和任意两次迎面相遇的距离，求AB两地的距离

8、。【例3】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。甲车每小时行20千米，乙车每小时行50千米，已知两车第10次与第18次迎面相遇的地点相距60千米，则A、B相距多少千米？A、95B、100C、105D、110【答案及解析】C。走相同时间内，甲乙走的路程比为20：50=2：5。将全程看成7份，则第一次相遇走1个全程时，甲走2份，乙走5份。以甲为研究对象（