数学实验报告

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1、数学实验报告实验序号:!1!日期：2014年12月26日班级姓名学号实验名称求代数方程的近似根(解)问题竹景描述：求代数A程f00=0的根是最常见的数学fuj题之一(这里称为代数7/程，主要是想和后面的微分方程区别开.为简明起见，在本实验的以卜*叙述屮，把代数方柷简称为方程)，当f(x)=0足一次多项式时，称f(x)=o为线性方程，否则称之为非线性方程.当f(x)=o是非线性方税吋，由于f(x)的多样性，尚无一般的解析解法可使川，似如果对任意的精度耍求，能求岀方程的近似根，则可以认为求根的计算问题已经解决，

2、至少能满足实际要求.木实验介绍一些求方程实根的近似值的冇效方法，要求在使川这些方法前先确定求根区间[a，b],或给出某根的近似值％.在实际问题抽象出的数学模型中,&可以根据物理背景确定；也可根据的草图等方法确走，还可用对分法、迭代法以及十•顿切线法人致确走根的分布情况.实验目的：1、丫解用对分法、普通迭代法、松弛迭代法、Aitken迭代法、牛顿切法线求方程近似根的方法2、掌握用对分法、啓通迭代法、松弛迭代法、Aitken迭代法、牛顿切法线求方程近似根的基本过程，会编写简单的程序解决问题实验原理与数学模型：1

3、、对分法对分法思想：将区域不断对分，判断根在某个分段内，再对该段对分，依此类推，直到满足精度为止.对分法适用于求冇根区间内的单实根或奇重实根.设f(X)在[a，b]上连续，/⑷即/⑻<0或/«<0,.则根裾连续函数的介值定理，在•勿内至少存在一点使>X2)=Q.K面的方法川■以求出该根：a+b⑴令2，计算⑵若/w=a，则&足/«=£»的根，停止计算，输出结果*=*.若/(tf)/(O<0,则令叫=«,各=今，若/(«>/(%)>0则令吟=〜，奂=*:，叫+A=^JA、—~2~,•…"，有tf*、~以及相应的

4、~T".⑶若(ff为顶先给定的精度要.=^jA求)，退出计货:，输出结果2；反之，返回⑴，重复(1)，(2)，(3).以上A法可得到每次缩小一半的区间序列在中含有A程的根.当区间长^*A^很小吋，取其屮点2为根的近似值，显然侖以上公式可用于估计对分次数*.1分析以上过程不难知道，对分法的收敛速度与公比为的等比级数相同.巾于2*=：1024,可知大约对分10次，近似根的精度可提高三位小数.对分法的收敛速度较慢，它常用來试探实根的分介2、迭代法1)迭代法的基本思想：由方程=构造一个等价方程i=从某个近似根々出发

5、，令*=……可得序列fr*)，这种方法称为迭代法.若《似收敛，即卜》川•知，W的极限，•是r=*x)的根，也就是y(z)=0的根.当然，苦&发散，迭代法就失败.2)迭代法的加速:a)松弛法：若与&同是Z的近似位，则0—4)4+是两个近似位的加权平均，其屮~称为权重，现通过确定看能否得到加速.迭代方程是：《-4^)芄屮*^)=(1一0^+曲代功，令，货)=】一=试确定欲：•=_!_=_?_当时，冇即当1«»*),1时，可望获得较好的加1速效果，r是有松弛法：1/w松弛法的加速效果是明兄的，甚至不收敛的迭代函数

6、经加速后也能获得收敛.b)Aitken方法：松弛法要先计算在使用中有时不方便，为此发展出以卜的Aitken公式:r>=*X^,Z是它的根，々是其近似根.没而,而=代今)，

7、大

8、为Z=今+[x—而]=今+[#(/)—沁0]=兮+#«x/—今人X.-jq)&—叫=兴*0—我々)用差商叫今«

9、近似代替,<»,有叫-奴叫由此得出公成甘=仲*>;#=兴#)*=OXi……这就是Aitken公式，它的加速效果也足十分明显的，它同样可使不收敛的迭代格式获得收敛.3、牛顿（Newton）法（牛顿切线法）1）十•顿法的难木思想

10、：=D是非线性方程，一般较难解决，多采用线性化方法/«=/（*i）+-£彻=/（今）+/!（访-%）代冷是•次多项式，用代冷=0作为JW=0的近似方程.Og

11、因此常用M:他方法确定初位A,再用牛顿法提窈精度实验所用软件及版木:MATLAB2012主要内容（要点）：分别用对分法、普通迭代法、松弛迭代法、Aitken迭代法、牛顿切法线等5种方法，求方程Z-x=iiiW的正的近似根，0