浅谈有限元法

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1、南湖学院现代设计方法基础题目：浅谈有限元法系部：南湖学院机电系专业：机械设计制造及其自动化班级：N机自四班07-4F姓名：学号：2010年5月25日目录目录21.有限元法的概述32有限元法的发展33有限元法的分析34有限元法的基本步骤54.1单元划分54.2确定插值函数（形函数）54.3建立单元方程64.4单元组集----建立总体方程组64.5计入边界条件，解方程组65质量矩阵76谈谈对有限元的学习86.3学习有限元还要有一定力学基础91.有限元法的概述有限元单元法，简称有限元法，是伴随着电子计算机技术的进步而发

2、展起来的一种新兴数值分析方法，是力学、应用数学与现代计算技术相结合的产物。实际上，有限元法是一种对问题控制方程进行近似求解的数值分析求解法，在数学上对其适定性、收敛性等都有较严密的推理和证明。有限元法的基本思路是将结构物看成由有限个划分的单元组成的整体，以单元结点的位移或结点力作为基本未知量求解。由于单元能按不同的联接方式进行组合，且单元本身又可以有不同的形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解区域。有限元法是一种高效能、常用的计算方法．有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和

3、泊松方程所描述的各类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系．基本思想：由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。2有限元法的发展有限单元法最早可上溯到20世纪40年代。Courant第一次应用定义在三角区域上的分片连续函数和最小位能原理来求解St.Venant扭转问题。现代有限单元法

4、的第一个成功的尝试是在1956年，Turner、Clough等人在分析飞机结构时，将钢架位移法推广应用于弹性力学平面问题，给出了用三角形单元求得平面应力问题的正确答案。1960年，Clough进一步处理了平面弹性问题，并第一次提出了"有限单元法"，使人们认识到它的功效。我国著名力学家，教育家徐芝纶院士（河海大学教授）首次将有限元法引入我国，对它的应用起了很大的推动作用。3有限元法的分析目前工程中使用的偏微分方程的数值解法主要有三种：有限差分法、有限元法和边界元法。有限差分法的出发点是用结点量的差商代表控制方程中的

5、导数。以矩形域二维无源稳定传热问题为例:起控制方程为拉普拉斯方程，即无源场中各点的散度为零：(5-1)边界条件为(5-2)式中，为区域内任意点的温度；n为区域边界上任意点的外向法线；代表在上给定的温度（例如左边界，右边界为）；代表边界上给定的热流密度。则式中的二阶偏导数可用结点温度的二阶差商近似表达为(5-3)同理(5-4)代入得（5-5)式中，和在结点划分完毕后是已知的。这样，式（5-5）即为一个以和围绕（i,j)结点的4个结点的u值为未知量的线性代数方程。若区域有m-n个结点个m个边界结点，则可建立n-m个如

6、式（5-5）所示的线性代数方程，加上式（5-2）所示m个结点的边界条件就可将所有结点的未知温度u求出。有限差分法概念及方法比较简单，但不适合于求解区域形状复杂的问题。边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法,与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同,边界元法是公在定义域的边界上划分单元,用满足控制议程的函数去逼近边界条件.所以边界元法与有限元相比具有单元的未知数少,数据准备简单等优点.但用边界元法解非线性问题时,遇到同非线性项相对应的区域积分,这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性,使求解遇到困难.以

7、上所述三种数值解法中，有限元法通用性最好，引用最广，其基本思想是将问题的求解域划分为一系列单元，单元之间仅靠结点联接。单元内部点的待求量可由单元结点量通过选定的函数关系插值求得。由于单元形状简单，易于由平衡关系或能量关系建立结点量之间的方程式。然后将各个单元方程“组集”在一起而形成总体代数方程组，计入边界条件后即可对方程组求解，单元划分越细，计算结果就越准确。4有限元法的基本步骤4.1单元划分将求解域离散为有限单元。根据基本长变量与坐标的关系决定采用一维、二维、三维单元。一维元用线段表示；二维元可为三角形元货四边

8、形元；三维元常用四面体元或六面体元。单元划分越密，计算精度越高，但计算工作量也越大。通常，在场变量变化剧烈处可将单元取密些，反之则取疏些。4.2确定插值函数（形函数）在有限元法中，单元内任一点(x,y,z)的场变量需通过选定的插值形式由单元结点值插值求得，即式中，m为单元结点自由度总数；是单元自由度列阵，即；称为单元的形函数矩阵，它与单元结点坐标结点数目及插值形式有关。形