高中数学：活用平面向量的数量积解题

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1、高中数学：活用平面向量的数量积解题平面向量的数量积解题运算有其独特性：=（）(定义式)或（坐标式）；应用非常广泛，利用它可以很容易地处理有关长度、角度和垂直等许多问题．本文借助年高考题说明用平面向量的数量积解题的常规技巧，供大家参考．一、向量数量积的基本运算例1：（北京）已知向量与的夹角为，且=，那么（＋）值为解：由（2＋）=＋=2=例：（湖北）设=（1，－2），=（－3，4），=（3，2），则（＋2）等于（）A、（－15，12）B、C、－3D、－11解：由＋2=（5，6）则（＋2）=（－5）×3＋6×2=－3故选C评注：例1考查向量数量积运算的定义式，例2考查向

2、量数量积运算的坐标式．二、求解向量的长度问题例3：（08江苏）已知向量与的夹角为，且=1，=3，则=解：由＋－=则=7例=（0，－1，1），=（4，1，0），=解:由题知＋由得∴∴∵∴评注：求向量的长度的依据是：①②设=三、求解两向量的夹角问题例5：（08陕西）非常向量和满足=，则与＋的夹角为解：（法一）由得又=得－＋∴而＋＋∴设与＋的夹角为，则∴∴即与＋的夹角为(法二)由向量加法的几何意义，作下图，任取一点O，作，，以、为邻边作平行四边形，使，则平行四边形为菱形∴，又＋，－∵=即∴为等边三角形∴∴与＋的夹角为B与＋的夹角为OAC评注：求两非零向量与夹角的依据：①

3、（）②设，则在本例中，解法二是由向量的几何意义，利用平面几何知识，数形结合，形象直观．四、判断两向量垂直问题：例平面向量=（1，－3），=（4，－2），且＋与垂直，则等于（）解：由＋与垂直得（＋）即∵，代入上式得∴评注：判断两向量垂直的依据：①若与为非零向量，则⊥②非零向量，则⊥五、与三角形有关问题例的三个内角A、B、C的对边，向量，，若⊥，则角A大小为解：∵⊥∴即∵∴∵∴例8：（08湖南）在中，，则等于（）解：在中，由余弦定理得：则故选D评注：平面向量数量积与三角形综合问题，注意结合三角函数的基本公式，正余弦定理的应用．在求数量积时，注意两个向量的夹角是否是三角

4、形的内角．