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1、集合问题中常见易错点归类分析 有关集合问题，涉及范围广，内容多，难度大，题目灵活多变．初学时，由于未能真正理解集合的意义，性质，表示法或考虑问题不全，而造成错解．本文就常见易错点归纳如下： 1．代表元素意义不清致误 例1设集合A＝｛（,y）∣＋2y＝5｝，B＝｛（,y）∣－2y＝－3｝，求AB． 错解：由得从而AB＝{1，2}．分析上述解法混淆了点集与数集的区别，集合A、B中元素为点集，所以AB＝{(1，2)} 例2设集合A＝{y∣y＝＋1，R}，B＝{x∣y＝＋2}，求Ａ∩Ｂ．错解： 显然Ａ＝｛y∣ｙ≥１｝Ｂ＝｛∣ｙ≥２｝．所以A∩B=
2、B． 分析错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A中的代表元素是y，从而A＝{ｙ∣ｙ≥1}，但集合B中的元素为,所以B＝{∣≥0}，故A∩B=A ．变式：已知集合，集合，求解：，例3设集合,，判断A与B的关系。错解：分析：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。元素的属性可以是方程，可以是数，也可以是点，还可以是集合等等。集合A中的元素属性是方程，集合B中的元素属性是数，故A与B不具包含关系。 例4设B＝{1,2}，A＝{x
3、x⊆B}，则A与B的关系是( ) A．A⊆BB．B⊆AC．A∈BD．B∈A 错解：B 分析：
4、选D.∵B的子集为{1}，{2}，{1,2}，∅，∴A＝{x
5、x⊆B}＝{{1}，{2}，{1,2}，∅}，从集合与集合的角度来看待A与B，集合A的元素属性是集合，集合B的元素属性是数，两者不具包含关系，故应从元素与集合的角度来看待B与Ａ，∴B∈A. 评注：集合中的代表元素，反映了集合中的元素所具有的本质属性，解题时应认真领会，以防出错． 2忽视集合中元素的互异性致错 例5已知集合A={１，3，}，B={１，－＋１},且AB，求的值． 错解：经过分析知，若－则即或．若8则即．从而＝－１，１，２． 分析当＝１时，A中有两个相同的元素1，与元素
6、的互异性矛盾，应舍去，故＝－１，２．例6 设Ａ＝｛ｘ∣＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０，ｂR｝，求Ａ中所有元素之和．错解：由＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０得 （ｘ＋１）（ｘ＋ｂ＋１）＝０ （１）当ｂ＝０时，ｘ1＝x2 －１，此时Ａ中的元素之和为－２． （２）当ｂ０时，ｘ1＋x2 ＝－ｂ－２．分析 上述解法错在（１）上，当ｂ＝０时，方程有二重根－１，集合Ａ＝｛－１｝，故元素之和为－１，犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”．因此，在列举法表示集合时，要特别注意元素的“互异性”．评注：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题
7、的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。 ３．忽视空集的特殊性致误例7 若集合A＝{x
8、x2＋x－6＝0}，B＝{x
9、mx＋1＝0}，且BA，求实数m的值．错解：A＝{x
10、x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．∵BA，（１）mx＋1＝0的解为－3，由m·(－3)＋1＝0，得m＝；（２）mx＋1＝0的解为2，由m·2＋1＝0，得m＝－；综上所述，或分析：空集是任何集合的子集，此题忽略了的情况。正解：A＝{x
11、x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．∵BA，（１），此时方
12、程无解，（２）mx＋1＝0的解为－3，由m·(－3)＋1＝0，得m＝；（３）mx＋1＝0的解为2，由m·2＋1＝0，得m＝－；8综上所述，或或例8 已知，，若，求ａ的取值范围。解：（１），，即（２），方程有两等根－４由得，所以无解（３），方程有两等根０由得，所以（４），方程有两不等根－４，０由得，所以综上所述，或例9 已知集合，，若，求ａ的取值范围。解：（１），得（２），则或得或综上所述或例１０ 已知集合，，若，求ａ的取值范围。解：（1），则，符合题意（2），则综上所述，变式：已知集合，，若，求ａ的取值范围。解：当时，所以当时，评注：对于任何集合
13、Ａ，皆有Ａ＝，Ａ∪＝Ａ，Ａ．的特殊性不容忽视．尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。４．忽视端点值能否取得致误8例11 已知集合A＝{ｘ∣ｘ≥４，或ｘ＜－５}，Ｂ＝｛ｘ∣＋１≤ｘ≤＋３｝，若Ａ∪Ｂ＝Ａ，求得取值范围．错解：由Ａ∪Ｂ＝Ａ得 ＢＡ． ∴＋３≤－５，或＋１≥４，解得≤－８，或≥３．分析 ：上述解法忽视了等号能否成立，事实上，当＝－８时，不符合题意；当＝３时，符合题意，故正确结
14、果应为＜－８，或≥３．评注：在求集合中字母取值范围时，要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号，否则会导致解题结果错误．５．忽视隐含条
