高考-数学专栏《数列》-超经典

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1、高考复习序列-----高中数学数列14一、数列的通项公式与前n项的和的关系①（注：该公式对任意数列都适用）②（注：该公式对任意数列都适用）③（注：该公式对任意数列都适用）④sn+1-sn-1=an+1+an（注：该公式对任意数列都适用）二、等差与等比数列的基本知识1、等差数列⑴通项公式与公差：定义式：一般式：推广形式：；；⑵前项和与通项的关系：前n项和公式：.前n项和公式的一般式：应用：若已知，即可判断为某个等差数列的前n项和，并可求出首项及公差的值。与的关系：（注：该公式对任意数列都适用）例：等差

2、数列，（直接利用通项公式作差求解）⑶常用性质：①若m+n=p+q，则有；特别地：若的等差中项，则有2n、m、p成等差数列；②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如，）仍是等差数列；③为公差为d等差数列，为其前n项和，则，，．．．也成等差数列,A、构成的新数列公差为D=m2d，即m2d=(S2m-Sm)-Sm；B、对于任意已知Sm，Sn，等差数列公差，即也构成一个公差为等差数列。14⑥若项数为偶数，设共有项，则①偶奇；②；⑦若项数为奇数，设共有项，则①奇偶；②。例：已知等差数列，其中解析：法一

3、，用等差数列求和公式求出法二，，成等差数列，设公差为D，则：法三,63.等比数列的通项公式：⑴①一般形式：；②推广形式：，③其前n项的和公式为：，或.⑵数列为等比数列⑶常用性质：14①若m+n=p+q，则有；特别地：若的等比中项，则有n、m、p成等比数列;②等比数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如，）仍是等比数列；③为等比数列，为其前n项和，则，，．．．也成等比数列（仅当当或者且不是偶数时候成立）；设等比数列的前项积为，则，，成等比数列．④为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.⑤既是

4、等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列.判断或证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：是等差数列②中项法：是等差数列③一般通项公式法：是等差数列④一般前项和公式法：是等差数列判断或证明一个数列是等差数列的方法：（1）定义法：为等比数列；（2）中项法：为等比数列；（3）通项公式法：为等比数列；（4）前项和法：为等比数列。为等比数列。数列最值的求解（1），时，有最大值；，时，有最小值；（2）最值的求法：①若已知，的最值可求二次函数的最值；14可用二次函数最值的求法（）；②或者求出中的正、负分界项，即：

5、若已知，则最值时的值（）可如下确定或。例1：等差数列中，，则前项的和最大。【解析】：例2．设等差数列的前项和为，已知①求出公差的范围，②指出中哪一个值最大，并说明理由。【解析】：①②由，可知，n=12是前n项和正负分界项，故所以，最大变式：若等差数列的首项为为31，从第16项开始小于1，则此数列公差d的取值范围是解析：，但要注意此时还要一个隐含条件，联立不等式组求解。3、若数列的前n项和，则，数值最小项是第项。【解析】：法一（导数法）：根据等差数列前n项和的标准形式，可知该数列为等差数列，令,取得最

6、小值，其中，可见当n=3时取得最小。法二（列举法）：对于可用列举法，分别求出n=1、2…时的的值，再进行比较发现。4、已知数列，14【解析】：法一（均值不等式）：由累加法：，令法二（列举法）：实在没招时使用该法。5、已知等差数列的前n项和。【解析】：6、数列通项公式的求法：14类型1：等差数列型思路：把原递推式转化为，再使用累加法（逐差相加法）求解。例，已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为变式：已知数列满足，，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，此时，故数列是以为首项，

7、以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为评注：本题前的系数不一致，不能直接使用前述方法，解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。类型2：等比数列型把原递推式转化为，再使用累乘法（逐商相乘法）求解。例（2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式。解：因为①所以②用②式－①式得则；故14所以③由，，则，又知，则，代入③得。所以，的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而

8、求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。类型4：待定系数法处理或型数列把原递推式转化为转化思路：例，数列解：令，所以即是公比为2的等比数列，=（），或令，是公比为2的等比数列，所以，变式1：已知数列满足，求数列的通项公式。思路：等式两边同时除于；原递推式变成令，14评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，最后再求出数列的通项公式。变式2：已知数列满足，求数列的通项公式。思路：将原递推式两边倒数后换元，再转化为变式3：已知数列满足，，求数列的通项公式。思路