分数布朗运动驱动的期权定价模型及其风险特征

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1、分数布朗运动驱动的期权定价模型及其风险特征赵巍淮海工学院商学院，江苏连云港，222001njzhaow@126.com摘要：分数布朗运动由于具有自相似或长记忆等分形特性，已成为数理金融研究中更为合适的工具。本文通过假定股票价格服从几何分数布朗运动，构建了Itô型分数Black-Scholes市场；接着在分数风险中性测度下，利用拟鞅定价方法求解了分数Black-Scholes定价模型；进而放松执行价格为固定值的假定，研究了股价和履行价共同受分数布朗运动驱动的期权定价模型；最后，通过数值分析表明长记忆参数是期权定价中不可忽略的因素。关键词：分数布朗运

2、动，拟鞅，分数Black-Scholes模型1引言关于股票价格行为的数学描述最早要追述到Osborne（1959）的研究工作[1]，他建议用正态随机变量表示对数股票价格。随后，布朗运动以其良好的随机计算性质被广泛应用于期权定价的研究。然而，实证研究表明股票市场具有自相似或长记忆等分形特性[2]，这导致了大量由布朗运动驱动的定价模型不符合真实的市场。分数布朗运动[3]已成为弥补上述模型缺陷最为简单的方法。由于分数布朗运动既不是马尔可夫过程，也不满足半鞅，这使得通常的随机积分无法对其进行分析。为此，许多研究者尝试定义不同的随机积分对分数布朗运动进行离

3、散逼近。到目前为止，主要有两种改进的积分定义：以Roger（1997）等[4]为代表的分数轨道积分（fractionalpathwiseintegrals）和Hu等（2003）[5]基于Wick积(Wickproduct)定义的分数Itô积分。前者所建立的Black-Scholes模型存在套利[6-8]，而后者建立的Black-Scholes模型不存在套利，且相应的分数Black-Scholes市场是完备的[9]。因此，分数Itô积分推动了分数期权定价的研究。Necula借助分数Itô积分意义下的积分计算，求解了分数Black-Scholes公式

4、[10]；刘韶跃等（2004）[11]在Necula研究基础上，对可降低权利金的权证进行了定价。上述研究虽然在分数Itô积分意义下得到了权证的解析解，但仍未摆脱复杂的积分计算。本文立足通常鞅定价的研究思路，利用拟鞅(quasi-martingale)定价方法，简便地解决了分数Black-Scholes市场下的期权定价问题；进而放松执行价格为固定值的初始假定，给出了股价和履行价共同受分数布朗运动驱动的期权定价模型；最后，对得到的结果进行了数值模拟分析。2Itô型分数Black-Scholes市场考虑金融市场上存在两种投资可能性，一种是无风险资产（如

5、债券），满足：(1)式中，r表示风险利率。另一种是风险资产（如股票），满足几何分数布朗运动，即(2)其中，为分数布朗运动，H为Hurst参数。特别当（为常数），有[10](3)式中，。Elliott[9]称分数布朗运动驱动的市场为Itô型分数Black-Scholes市场，并证明此时的市场不存在套利且完备。设表示由产生的关于P完备的-流，投资者在时刻的财富为F(t)，即(4)式中，a(t)和b(t)分别对应股票和债券的数目。若F(t)满足下面的方程(5)称投资策略{a(t),b(t)}是自融资策略。根据式(4)、(5)，有(6)定义折现过程则(7

6、)若概率测度Q满足(8)式中，(9)(10)(11)由分数Girsanov公式[5]，有(12)另一方面，根据分数Clark-Clone定理[7](13)式中，表示F在t处的Malliavin导数，为概率测度Q下的拟条件数学期望。由于在完备的市场条件下，有[7](14)成立，对(13)式两边用Q测度下的拟条件期望作用得到(15)注意到为测度Q下的拟鞅，且，不难得到下面的结论。定理1在完备市场条件下，任意自然-流上的可测未定权益F在时刻t的价格为(16)3分数Black-Scholes期权定价模型考虑另一风险中性测度R下随机过程(17)其中，为任意

7、实数。由分数Girsanov公式[5]，为风险中性测度R下的分数布朗运动。定义(18)则可利用下面引理进行拟鞅等价测度的计算。引理[7]若欧式未定权益f满足，则对任意，有下面的对等关系成立：(19)其中，分别为测度Q和R下的拟条件数学期望。定理2标的资产S，到期日为T，执行价为K的欧式买权在任意t时刻的价格为(20)式中，(21)(22)证明由定理1，有考虑测度R下随机过程(23)定义(24)由引理，得由，可得同理可得因此，欧式买权的评价模型为证毕。4股价和履行价共同受分数布朗运动驱动的期权定价模型假设K(t)为时刻t的执行价格，则期权在时刻T以

8、执行价格K(T)执行。假定在分数风险中性测度Q下，K(t)满足随机微分方程(23)此时，欧式看涨期权的到期收益为　　由定理1有首先，令(