浅谈“等价变换”在解题中的作用

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1、浅谈“等价变换”在解题中的作用　　所谓等价变换，是把问题A变更为与之等价的新问题B，即问题A的结果与问题B的结果完全一致，问题A与问题B是可以相互推导的。等价变换则是一种常见的十分重要的数学思想方法，本文通过举例可看出它在解题中的地位和作用。　　1.同解原则　　在解方程（组）的过程中，必须进行合理的推算、化繁为简，才能得到最后的结果，同解原理则是合理推算的理论根据，只要每一步推算都是同解变换，最后结果一定是问题的解，是无须验证的。但是在解某类方程（组）时，我们只要在变量的限定范围内求解，所得结果无疑仍然是问题的解，因为这样的推算是等价的。　　例：解议程组〖JB（{〗〖KF（〗x+〖SX（

2、〗1〖〗y〖SX）〗〖KF）〗+〖KF（〗x+y-3〖KF）〗=3①　　2+2xy-8y+1=0②〖JB）〗　　解：因为中y≠0两边同除以y，得　　y+2x-8+〖SX（〗1〖〗y〖SX）〗=0即（x+〖SX（〗1〖〗y〖SX）〗）+（x+y-3）=5　　令〖KF（〗x+〖SX（〗1〖〗y〖SX）〗〖KF）〗=u、〖KF（〗x+y-3〖KF）〗=v　　则原议程组可变为〖JB（{〗u+v=3③u2+v2=5④〖JB）〗4　　解之得〖JB（{〗u1=2v1=1〖JB）〗〖JB（{〗u2=1v2=2〖JB）〗　　∴〖JB（{〗x+〖SX（〗1〖〗y〖SX）〗=4⑤　　x+y-3=4⑥〖JB）〗

3、　　〖JB（{〗x+〖SX（〗1〖〗y〖SX）〗=1⑦　　x+y-3=4⑧〖JB）〗　　解：⑤、⑥得〖JB（{〗x1=3y1=1〖JB）〗〖JB（{〗x2=5y2=-1〖JB）〗　　解：⑦、⑧得〖JB（{〗x3=4-〖KF（〗10〖KF）〗y3=3+〖KF（〗10〖KF）〗〖JB）〗　　〖JB（{〗x4=4+〖KF（〗10〖KF）〗y4=3-〖KF（〗10〖KF）〗〖JB）〗　　故原方程组有四种解：　　〖JB（{〗x1=3y1=1〖JB）〗〖JB（{〗x2=5y2=-1〖JB）〗〖JB（{〗x3=4-〖KF（〗10〖KF）〗y3=3+〖KF（〗10〖KF）〗〖JB）〗〖JB（{〗x4=4

4、+〖KF（〗10〖KF）〗y4=3-〖KF（〗10〖KF）〗〖JB）〗。　　此方程组无通法求解但通过现观察比较，巧妙地将②式两边同除以y，就得到于①式具有相同的形式，再借助换元法把复杂问题简单化――化成普通常见的二元二次方程组求解。　　2.变换命题的结论　　一般地说，综合题的解法是不甚明显的，需要联想，通过实验，才能探明解题思路。而等价变换命题的结论，可化繁为简、化难为易，从而启发我们寻找解题思路。　　例2：试证，没有整数a、b、c，满足a2+b2-8c=64　　分析：已知条件抽象，不便于使用，通过变换命题的结论，由a2+b2-8c=6，变形为a2+b2=8c+6问题就转化为，证明没有两

5、个整数的平方和被8除余6，根据数的整数性质，问题即可得证。　　证明：∵每个整数都具有下列形式之一：4n、4n+1、4n+2、4n+3，它们的平方分别是：16n2、16n2+8n+1、16n2+16n+4、16n2+24n+9，它们被8除的余数是0，1、4而这三个数的余数的任意两数（可以相同）的和都不等于6。　　∴a2+b2≠8c+6，即没有整数a、c、b，满足a2+b2=8c+6成立。　　3.变换等价命题　　凡有一定难度的题目，不是假设条件不明显，就是条件与结论相距太远，有的甚至难以理解题意。在这种情况下，将原命题变换为与之等价的命题，可以帮助我们寻找解题思路，探索一条由假设条件通向所求

6、结论的逻辑“通道”。　　例3：设a、b、c互不相等，试证，不论x为何实数〖SX（〗（x-b）（x-c）〖〗（a-b）（a-c）〖SX）〗+〖SX（〗（x-c）（x-a）〖〗（b-c）（b-a）〖SX）〗+〖SX（〗（x-a）（x-b）〖〗（c-a）（c-b）〖SX）〗=1恒成立。　　分析：若按通常证明恒等式的方法，推算是比较繁的，我们知道方程与函数是有密切关系的，这里要证明的等式是关于x的二次方程，于是可设辅助（二次）函数P（x），其图像与x轴最多只有两个交点，若P（x1）=P（x2）=P（x3）=0，则P（x）=0。利用此结论，问题即可得证：　　证明：4　　令P（x）=〖SX（〗（x-

7、b）（x-c）〖〗（a-b）（a-c）〖SX）〗+〖SX（〗（x-c）（x-a）〖〗（b-c）（b-a）〖SX）〗+〖SX（〗（x-a）（x-b）〖〗（c-a）（c-b）〖SX）〗-1　　∵P（a）=P（b）=P（c）=0　　而P（x）是二次多项式，它的根不多于2个，故只能有P（x）=0即〖SX（〗（x-b）（x-c）〖〗（a-b）（a-c）〖SX）〗+〖SX（〗（x-c）（x-a）〖〗（b-c）（b-a）〖SX）〗+〖SX（〗（x