高等数学方明亮版数学课件8.4 重积分的应用

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1、第四节重积分的应用第八章(ApplicationofMultipleIntegrals)一、曲面的面积二、质心三、转动惯量四、引力五、小结与思考练习8/29/20211一、曲面的面积设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D上的投影为d,(称为面积元素)则(AreaofSurface)8/29/20212故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即8/29/20213若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为隐式则则有且8/29/20214解:8/29/20215二、质心设空间有n个质点,

2、其质量分别由力学知,该质点系的质心坐标设物体占有空间域,有连续密度函数则公式,分别位于为为即:采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其质心（Centroid）8/29/20216将分成n小块,将第k块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第k块上任取一点8/29/20217则得形心坐标：同理可得8/29/20218若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片,(A为D的面积)得D的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度—对x轴的静矩—对y轴的静矩8/

3、29/20219的方程为内储有高为h的均质钢液,解:利用对称性可知质心在z轴上，采用柱坐标,则炉壁方程为因此故自重,求它的质心.(补充题）若炉不计炉体的其坐标为例2一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁线8/29/2021108/29/202111三、转动惯量设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数该物体位于(x,y,z)处的微元因此物体对z轴的转动惯量:对z轴的转动惯量为因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故连续体的转动惯量可用积分计算.(MomentofInertia)8/29/202112对x轴的转动惯

4、量对y轴的转动惯量对原点的转动惯量类似可得:8/29/202113面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.如果物体是平面薄片,8/29/202114解:取球心为原点,z轴为l轴,则球体的质量设球所占域为(用球坐标)（补充题）例3求密度为ρ均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量.8/29/202115G为引力常数四、引力设物体占有空间区域,物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,在上积分即得各引力分量:其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为(Gravitation)8/29/202116对xoy面上

5、的平面薄片D,它对原点处的单位质量质点的引力分量为8/29/202117对位于的单位质量质点的引力.（课本例6）解:利用对称性知引力分量点例4求半径R的均匀球8/29/202118为球的质量8/29/202119内容小结几何应用：曲面的面积物理应用：质心、转动惯量、对质点的引力课外练习习题8－41；2；3；4（3）；7（3）；9（2）；148/29/202120思考练习(t为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9)

6、,问高度为130cm的雪堆全部融化需要多少小时?(2001考研)8/29/202121记雪堆体积为V,侧面积为S,则(用极坐标)提示:8/29/202122由题意知令得(小时)因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100小时.8/29/202123