直线及圆的位置关系

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1、WORD格式可编辑1．已知圆C的方程为，过点M（2，4）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆T：（a＞b＞0）的右顶点和上顶点．（1）求椭圆T的方程；（2）已知直线l：y＝kx＋（k＞0）与椭圆T相交于P，Q两点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．【答案】（1）；（2）1.【解析】试题分析：（1）思路一：由题设可知，过点M（2，4）作圆C的两条切线中有一条斜率不存在，方程为，另一条斜率存在，可首先设出这条切线的斜率，利用圆的切线的性质列方程确定斜率值从而得到切线方程，最后利用直线与圆的方程组成方程组，求出切点的坐标，即椭圆的顶点，进而求得椭圆的方程.思路二：利用结论

2、：设为圆外一定点，是圆的两条切线，其中为切点，则直线的方程为：直接求直线的方程，以下同.（2）利用直线与圆的方程联立所得方程组，结合韦达定理，求出用表示的弦长，利用点到直线的距离公式求出△OPQ的底边上的高，从而将△OPQ面积表示成的函数，最后用基本不等式求出其最大值.试题解析：（1）由题意：一条切线方程为：，设另一条切线方程为：则：，解得：，此时切线方程为：2分切线方程与圆方程联立得：，则直线的方程为令，解得，∴；令,得,∴故所求椭圆方程为6分专业知识分享WORD格式可编辑（2）联立整理得，令，，则，，，即：原点到直线的距离为，8分，∴[当且仅当时取等号，则面积的最大值为1．12分考点：

3、1、直线与圆的位置关系；2、直线与椭圆的位置关系；3、基本不等式.2．已知圆（1）将圆的方程化为标准方程，并指出圆心坐标和半径；（2）求直线被圆所截得的弦长。【答案】（1），；（2）。【解析】试题分析：（1）通过配方可将方程化为圆的标准方程，由标准方程即可直接得到圆心和半径。（2）直线与圆相交，用点到直线的距离公式可算出弦心距，即圆心到直线的距离。然后由勾股定理即可得到弦长。试题解析：（1）故圆心的坐标是，半径（3分）（2）弦心距（5分）（7分）专业知识分享WORD格式可编辑故直线被圆所截得的弦长为（8分）考点：1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系。3．已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：

4、(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)关于直线x＋y＋2＝0对称．(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值；(3)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．【答案】（1）x2＋y2＝2（2）－4.（3）平行，见解析【解析】(1)设圆心C(a，b)，则，解得.则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，故圆C的方程为x2＋y2＝2.(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，且＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2，∵(x＋y)

5、min＝－2，所以的最小值为－4.(3)由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y－1＝k(x－1)，PB：y－1＝－k(x－1)，由，得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0.因为点P的横坐标x＝1一定是该方程的解，所以可得xA＝.同理，xB＝.则kAB＝＝专业知识分享WORD格式可编辑＝＝1＝kOP.所以，直线AB和OP一定平行．4．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0，且直线l与圆C交于A、B两点．(1)若

6、AB

7、＝，求直线l的倾斜角；(2)若点P(1,1)满足2＝，求此时直线l的方程．【答案】（1）或.（2）x－

8、y＝0或x＋y－2＝0.【解析】(1)由圆C：x2＋(y－1)2＝5，得圆的半径r＝，又

9、AB

10、＝，故弦心距d＝＝.再由点到直线的距离公式可得d＝，∴＝，解得m＝±.即直线l的斜率等于±，故直线l的倾斜角等于或.(2)设A(x1，mx1－m＋1)，B(x2，mx2－m＋1)，由题意2＝可得2(1－x1，－mx1＋m)＝(x2－1，mx2－m)，∴2－2x1＝x2－1，即2x1＋x2＝3.①再把直线方程y－1＝m(x－1)代入圆C：x2＋(y－1)2＝5，化简可得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，由根与系数关系可得x1＋x2＝.②由①②解得x1＝，故点A的坐标为(，)．把点A的坐标代

11、入圆C的方程可得m2＝1，即m＝±1，故直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.5．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且

12、CD

13、＝4.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．【答案】（1）x＋y－3＝0（2）(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40【解析】(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)，∴直线CD的方程为y