哈工大-数值分析上机实验报告

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1、``实验报告一题目：非线性方程求解摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。前言：（目的和意义）掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。数学原理：对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)

2、f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。重复运行计算，直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式产生逼近解x*的迭代数列{xk}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。程序设计

3、：本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下functiony=f(x);y=-x*x-sin(x);写成如上形式即可，下面给出主程序。二分法源程序：clear%%%给定求解区间b=1.5;a=0;%%%误差`````R=1;k=0;%迭代次数初值while(R>5e-6);c=(a+b)/2;iff12(a)*f12(c)>0;a=c;elseb=c;endR=b-a;%求出误差k=k+1;endx=c%给出解Newton法及改进的Newton法源程序：clear%%%%输入函数f=

4、input('请输入需要求解函数>>','s')%%%求解f(x)的导数df=diff(f);%%%改进常数或重根数miu=2;%%%初始值x0x0=input('inputinitialvaluex0>>');k=0;%迭代次数max=100;%最大迭代次数R=eval(subs(f,'x0','x'));%求解f(x0)，以确定初值x0时否就是解while(abs(R)>1e-8)x1=x0-miu*eval(subs(f,'x0','x'))/eval(subs(df,'x0','x'));R=x1-x0;x0=x1;k

5、=k+1;if(eval(subs(f,'x0','x'))<1e-10);breakendifk>max;%如果迭代次数大于给定值，认为迭代不收敛，重新输入初值ss=input('mayberesultiserror,chooseanewx0,y/n?>>','s');`````ifstrcmp(ss,'y')x0=input('inputinitialvaluex0>>');k=0;elsebreakendendendk;%给出迭代次数x=x0；%给出解结果分析和讨论：1.用二分法计算方程在[1，2]内的根。(,下同)计算

6、结果为x=1.40441513061523；f(x)=-3.797205105904311e-007；k=18；由f(x)知结果满足要求，但迭代次数比较多，方法收敛速度比较慢。2.用二分法计算方程在[1，1.5]内的根。计算结果为x=1.32471847534180；f(x)=2.209494846194815e-006；k=17；由f(x)知结果满足要求，但迭代次数还是比较多。3.用Newton法求解下列方程a)x0=0.5；计算结果为x=0.56714329040978；f(x)=2.220446049250313e-01

7、6；k=4；由f(x)知结果满足要求，而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快。b)x0=1；c)x0=0.45,x0=0.65；当x0=0.45时，计算结果为`````x=0.49999999999983；f(x)=-8.362754932994584e-014；k=4；由f(x)知结果满足要求，而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快，实际上该方程确实有真解x=0.5。当x0=0.65时，计算结果为x=0.50000000000000；f(x)=0；k=9；由f(x)知结果满足要求，实际上该方程确实有真解x=0.5，但迭代次数

8、增多，实际上当取x0〉0.68时，x≈1，就变成了方程的另一个解，这说明Newton法收敛与初值很有关系，有的时候甚至可能不收敛。1.用改进的Newton法求解，有2重根，取x0=0.55；并与3.中的c)比较结果。当x0=0.55时，程序死循环，无法计算，也就是说不收敛。改