平面向量基本定理.doc

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1、2.3.1平面向量基本定理墨江二中李晓婧一、教学目的：（1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达。二、教学重难点教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.三、教学过程：（一）复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ（1）

2、λ

3、=

4、λ

5、

6、

7、；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=2．运算定律结合律：λ(μ)

8、=(λμ)；分配律：(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ3.向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.（二）讲解新课：思考：（1）给定平面内任意两个向量e1、e2，请你作出向量3e1+2e2，e1-2e2。（2）平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢？（1）这个问题要分类讨论，分为两向量共线和两向量不共线两种情况。对于两向量共线的情况，有如下两种情形：e1e23e1+2e2e1-2e2e1e23e1+2e2e1-2e2对于两向量不共线的情况：e1e23e1+2e2e1-2e2（

9、2）平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢？如图，设e1、e2是同一平面内两个共线的向量，a是这一平面内的任一向量．从第一个问题的结论我们知道：当向量e1和e2共线时，平面上的任意向量a无法用a＝λ1e1+λ2e2来表示。对于两向量不共线的情况，如下图所示：对于一般情形，如图设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量。在平面内任取一点O，作OA=e1，OB=e2，OC=a。过点C作直线OB的平行线，交直线OA于点M；过点C作直线OA的平行线，交直线OB于点N。由向量线性运算的性质可知，存

10、在实数λ1、λ2，使得OM=λ1e1，ON=λ2e2。由于OC=OM+ON，所以a=λ1e1+λ2e2。e1e2aMOBCAN平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2。在这里，我们引入基底的概念：我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。思考：（1）基底是唯一的吗？一组平面向量的基底有多少对？不唯一，无数对（2）基底可以为零吗？不能，因为零向量与任意向量平行。（3）特别地，若a=0，有什么结论？有且只有λ1=λ2=0时，a等于0

11、。（4）若a与e1或e2共线，有什么结论？λ1=0或λ2=0。探究：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一确定的数量注意：（1）实数对λ1、λ2的存在性和唯一性（2）基底的不唯一性向量的夹角已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°），叫做向量a与b的夹角。（1）夹角的范围：0°≤θ≤180°（2）当θ=0°时，a与b

12、同向（3）当θ=180°时，a与b反向（4）当θ=90°时，a与b垂直，记作a⊥b求向量夹角时，注意以下三点：（1）要把两向量a、b起点平移到一起；（2）夹角的范围：0°≤θ≤180°；（3）夹角θ的大小与a、b的位置状态无关。（三）讲解范例：例1已知向量，求作向量-2.5+3.（略）例2如图ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，，和（四）课堂练习：1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有()A.e1、e2一定平行B.e1、e2的模相等C.同一平面内的任一向量a都有a=λe1+μe2(λ、μ∈R)D.若e1、e2不共线

13、，则同一平面内的任一向量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R)2.已知矢量a=e1-2e2，b=2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c=6e1-2e2的关系A.不共线B.共线C.相等D.无法确定3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于()A.3B.-3C.0D.24.已知a、b不共线，且c=λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1=.5.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a=λ1e1+λ2e2，则a与e1_____，a与e

14、2_________(填共线或不共线).（五）小结本节主要讲了平面向量的基本定理及其简单应用。平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理；在解题中基底的选择是多样的，灵活的，解题时我们应该选择对我们解