2009全国高中数学联赛

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1、2009全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛试题（考试分值：150考试时间：120分钟，考试时间：2009年5月24日）一、选择题（每小题6分，共36分）1、下列方程中与sinx＋cosx＝0解集相同的是（）A．sin2x＝1－cos2xB．sinx＝－C．cos2x＝0D．2、已知θ是第三象限的角，且的取值范围是（）A．B．C．D．3、数且n≥2009，设[x]为x的整数部分，则除以8的余数是（）A．1B．3C．4D．74、已知f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当时，f（x）＝x2，若直线与的

2、图像恰好有两个公共点，则a＝（）A．B．k,∈ZC．D．5、如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，P－A1B1C1D1是正四棱锥，且P到平面ABC的距离为，则异面直线A1P与BC1所成的角是（）A．B．C．D．6、已知f（x）的定义在实数上的函数，，且，则f（2009）＝（）A．B．C．D．二、填空题（每题9分，共54分）7、已知C与F是线段AB上的两点，AB＝12，AC＝6，D是以A为圆心，AC为半径的圆上的任意点，，线段FD的中垂线与直线AD交于点P。若P点的轨迹是双曲线，则此双曲线的离心率的

3、取值范围是8、在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，且都是方程的根，则△ABC的形状是9、设函数f(x)=的最大值为an，最小值为bn，则an-bn=________10、不等式的解集是11、有6本不同的书，其中一本数学书，两本英语书，三本音乐书，将他们排成一排，若英语书不相邻，音乐书也不相邻的不同排法数为12、曲线的点到坐标原点的距离的最小值为三、解答题（每小题20分，共60分）13、已知P是圆上一动点，向量依逆时针方向旋转90°得到向量，又点P关于A(3，0)的对称点为T，求的取值范围。

4、14、已知△ABC的内切圆半径为2，且tanA=，求△ABC面积的最小值.15、从直线l：上任意一点p向椭圆C：引切线PA,PB，切点分别为A、B，试求线段AB中点M的轨迹方程。参考答案：1、D2、B3、A4、C5、B6、A7、8、A＝30°，B＝60°的直角三角形9、解：由y=，得y·x2+y·x+y=x2+n,即：(y-1)x2+y·x+y-n=0.y≠1时，y2-4(y-1)(y-n)≥0，即：3y2-4(n+1)y+4n≤0.可知an,bn是方程3y2-4(n+1)y+4n=0的两根.所以：

5、an+bn=,anbn=，故(an-bn)2=(an+bn)2-4anbn==因为an>bn，所以an-bn=10、解：整理，不等式化成设，且不等式化为∵是R上的增函数，故，得故不等式的解集为｛x

6、x＞－1，x∈R｝11、120种12、13、设点P(x，y)，则点S（－y，x），点T（6－x，－y），又圆心为C（2，2），半径r＝1∴,其中B（3,－3）∴∴14、解：设AB=c,BC=a,AC=b，D为切点，可知：2AD+2a=a+b+c得：AD=(b+c-a)，由tanA=，可得：tan∠DAO=2

7、，所以：DO=b+c-a=2，sinA=.S△ABC=bcsinA=(a+b+c)·2即：bc=2(b+c)-2，所有bc=5(b+c)-5≥10-5设=t，则知：t2-10t+5≥0，所以t≥5+2或t≤5-2(舍)故bc≥45+20，所以S△ABC=bc≥18+8，b=c=5+2时取等号。故△ABC面积的最小值为18+8.15、点M是以（1，1）为中心长短半轴分别为，且长轴与x轴平行的椭圆（不包括原点）