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时间:2018-11-27
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1、复旦大学信息科学与工程学院《线性代数》期终考试试卷(A卷)共9页课程代码:INFO120007.0_考试形式:闭卷2008年1月17日13:00-15:00(本试卷答卷时间为120分钟,答案必须写在试卷上,做在草稿纸上无效)专业学号姓名成绩题号一二三四五六七八总分得分一、计算n阶行列式的值:(共20分)1.(10分)2.(10分)二、假设Frobenius矩阵:,其中。(1)求逆阵;(2)计算:,其中是行列式第行,第列元素所对应的代数余子式。(11分)三、设是复数域上四维线性空间的一组基,是上的一个线性变
2、换,它在这组基下的矩阵为,即。(1)求的所有的特征值与特征向量;(2)求一个正交阵使得为对角阵。(12分)三、证明:任何实二次型的标准形不是唯一的,但规范形是唯一的。(共12分)三、设分别为实数域上m阶、n阶方阵,试证明:(1)如果都相似于对角矩阵,则也相似于一个对角矩阵。(2)设相似于一个对角矩阵,即存在一个可逆矩阵,使得。对进行分块,令,其中是阶矩阵,是阶矩阵。试证明:的每一列都是的特征向量,的每一列是的特征向量,并且。(3)相似于一个对角矩阵当且仅当都相似于对角阵。(共12分)六、设为实数域,在线性
3、空间中:请分别求和的维数及一个基。(12分)设是实数域上的维线性空间,是上的线性变换,且,其中不为纯量阵,是上的恒等变换。证明:(1)的特征值-1和3;(2)对任意的向量,有;(3)且,其中与分别是属于-1与3的特征子空间。(共9分,每小题3分)八、设为实数域,为实数域上全体阶矩阵的集合。在中定义加法、数乘如下:,。显然在上面的加法、数乘下构成一个线性空间。在线性空间中,试求下面向量组的极大线性无关组:(共12分)
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