多元函数的极值及其求法

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1、第八节多元函数的极值及其求法三、最大值与最小值应用一、多元函数的极值及最大值、最小值二、条件极值拉格朗日乘数法一、多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数的定义域为D,为D的内点.若存在的某个邻域,使得对于该邻域内异于P0的任何点(x,y)，都有则称函数f(x,y)在点(x0,y0)有极大值f(x0,y0)，点(x0,y0)称为函数f(x,y)的极大值点.()(极小值)(极小值点)例如都有即有极小值都有即有极大值,(1)极值点与极值不同；说明(2)在空间直角坐标系中，函数z=f(x,y)表示一个曲面，如果f(x0,y0)是函数f(x,y)的

2、极大值，则在点(x0,y0)的某个去心邻域内必有：f(x,y)

3、.反例:经计算得:但点不是的极值点.(3)使同时成立的点称为函数的驻点.(4)不可导点也可能是极值点.例如:在点处,偏导数不存在但点是的极小值点.由定理1及上面的(3)(4),我们得到结论:函数的极值点只可能是:函数的驻点,或不可导点.又由上面的(2),我们知道:这两种点不一定就是极值点.因此,这两种点到底是否为极值点,还需继续讨论.定理2（充分条件）如果在点的某邻域内有二阶连续偏导数，又，.令,,记,那么(1)若,则在点有极值,且时,有极大值;时,有极小值.(2)若,则在点没有极值.(3)若,不能判定.(不证)求极值的步骤第一步求得全部驻

4、点;在每个驻点处，求出二阶偏导数，第二步分别计算的值：再计算的值根据极值的充分条件，第三步对驻点是否为极值点，以及是极大值点还是极小值点作出判断。例1求函数的极值.解定义域:整个平面解得:即驻点为:，，在点处，=72>0又在点处，<0在点处，<0在点处，=72>0又问:对于不可导点,怎样判断它是否为极值点?最值问题(1)一般问题较复杂为有界闭区域在上连续求在上的最大值和最小值。假定内只有有限个驻点及不可导点在解法：求出在内的所有驻点及不可导点处的函数值：求出的边界上的最大值和最小值：通过比较，得到在在上的最大值和最小值。(2)实际问题根据实

5、际问题的性质，可知函数的最值(最大值或最小值)一定在D的内部取到，而函数在D内又只有一个驻点，那么，可以断定函数在该驻点处的值就是函数在D上的最值(最大值或最小值).较简单例2某厂要用铁板做成一个体积为2立方米的有盖水箱，问：当长、宽、高各取多少时，才能使得用料最省？解设水箱的长、宽、高分别为（米）则水箱的表面积为=，=0=0即(1)(2)由(1)(2)得代入(1),得即：内只有一个驻点，又由实际问题知：内一定有最小值点就是A的最小值点.此时,高为=当水箱的长、宽、高均为米时,用料最省.在二、条件极值求的极值无条件极值问题问题：求表面积为而

6、体积为最大的长方体的体积.设长方体的长、宽、高分别为求在附加条件下的最大值.条件极值问题怎样求条件极值？有些可以化为无条件极值问题来求。例如上面的问题：求在附加条件下的最大值.由附加条件解得代入的表达式，得再求它的无条件极值就行了.但是，在很多情形，条件极值问题不能或很难化为无条件极值问题，(比如，从附加条件不能将其中一个变量由其余变量表示出来)，这时，上述方法就行不通了.可是，实际中又有大量这类问题需要解决，为此，下面给大家介绍一种直接求条件极值的方法，即：拉格朗日乘数法.这是一种间接求条件极值的方法.求函数在附加条件下的极值.(1)(2

7、)若函数在附加条件(2)下在点处取得极值，显然(3)问题：我们来研究一下：该点必须满足什么条件？假定在点的某邻域内有一阶连续偏导数，且.由隐函数存在定理１得：方程(2)可确定一个连续且具有连续偏导数的函数，代入(1)得到函数在附加条件(2)下在点处取得极值，相当于在处取得极值一元函数一元函数(4)由一元函数极值的必要条件，得由(4)式得：从而这样，(5)(5)式变为(6)由(2)式用隐函数求导法得代入(6)式得＝0即(7)(3)、(7)式就是函数(1)在附加条件(2)下在点取得极值的必要条件,即为了方便记忆，做如下变形.令则上述必要条件变为

8、：作辅助函数＋则上面三式即这样，我们就得到拉格朗日乘数法：要找函数在附加条件下的可能极值点，可以先作辅助函数(或拉格朗日函数)＋再求出它的各偏导数，使之为0，并与附加条件联立解出