高-数学-函数单调性和最值(含解析)

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1、.函数单调性引入对于二次函数fx=x2，我们可以这样描述“在区间（0，+∞）上，随着x的增大，相应的fx也随着增大”；在区间（0，+∞）上，任取两个x1，x2，得到fx1=x12，fx2=x22，当x1

2、unction）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1fx2，那么就说函数在区间D上是减函数（decreasingfunction）.【例1】下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)A．f(x)＝3－x　　　　B．f(x)＝x2－3xC．f(x)＝－D．f(x)＝－

3、x

4、【解析】选C　当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；当x∈

5、(0，＋∞)时，f(x)＝－

6、x

7、为减函数．故选C.【例2】判断函数g(x)＝在(1，＋∞)上的单调性．【解】任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x10，因此g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)

8、x

9、；　(2)f(x)＝

10、x2＋2x－3

11、；(3)y＝－x2＋2

12、x

13、＋1.【解】(1)∵f(x)＝3

14、x

15、＝图象如图

16、所示．f(x)在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数．(2)令g(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.先作出g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到f(x)＝

17、x2＋2x－3

18、的图象，如图所示．......由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．(3)由于y＝即y＝画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．【例4】求函数y＝的单调

19、区间．【解】令u＝x2＋x－6，y＝可以看作有y＝与u＝x2＋x－6的复合函数．由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.∵u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝在(0，＋∞)上是增函数．∴y＝的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．【例5】证明：函数fx=x3+x在R上是增函数【变式1】利用函数单调性的定义，证明函数fx=x在区间0,+∞上是增函数。【例6】讨论函数fx=x+axa>0的单调性，请作出当a=1时函数的图像。【变式2】讨论fx=axx2-1-

20、1

21、者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接。【例7】求下列函数的单调区间：（1）fx=x+1+x-2；（2）fx=-x2+2x+3【变式3】（1）作出函数fx=x2-6x+9+x2+6x+9的图像，并指出函数fx的单调区间（2）求函数fx=-x2+4x+5的单调区间。【例8】求解下列问题：（1）求函数fx=1-x1+x的单调区间（2）求函数y=1-13-2x-x2的单调区间【练习1】1、设函数为定义在上的偶函数，且在为减函数，则的大小顺序2、在(0,2)上是增函数，是偶函数，则的大小关系

22、3、判断正误(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性(　　)(2)函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3)(　　)(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”(　　)(4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)(　　)(5)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)(　　).....