二重积分的计算法教案

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1、第六届“青年教师教学比赛参赛教师：杨星星职称：助教所在院系：数学与统计学院所授课程：高等数学2015年5月第十章重积分第二节二重积分的计算法(第1课时)教学目的：理解二重积分计算公式导出的方法，理解公式屮符号的意义；熟练掌握X-型区域与Y-型区域上的积分公式，并能根据条件选择恰当的积分次序计算二熏积分.重点.•X-型区域上二重积分的积分公式；根裾条件选择恰当的积分次序计算二重积分.难点：选择合适的方法计算二重积分.教学方法：且观教学，启发式讲授.教学过程：一、利用直角坐标系计算二重积分1.积分区域D的分类(1)积分区域D为X-型区域图1图2图1,图2表示的区域都是X-型区域.

2、X-型区域的特点：穿过D的内部平行于y轴的直线与D的边界的交点个数不超过两个.用不等式组表示为D：a为Y-型区域图3图4图3,图4表示的都是Y-型区域.Y-型区域的特点：穿过D的内部平行于v轴的直线与D边界交点的个数不多于两个.当积分区域为Y-型区域时，即D:c

3、轴上戋点作平行于的平而;rA.，a＜xQ＜b.阁51截V得一以[仍(x0)，仍(x0)]长为底,z=/(xQ，y)为曲边的曲边梯形，M:而积为r^(v0)^Uo)=f'/Cw)办.对Vxe[a,b],A(x)=/(x,y}dy.根裾平行截而而积已知的立体求体积的方法，可得V=£A(x)dx=£[]^了/(1’y)办]也=yMv•于足jj/(x，y)da=£dx^{xy(x,y)dy.(2)积分区域£＞为Y-型区域吋Jj/(x，＞，/cr的计算公式DJJZU，y)d(J=/(X，y)dx]dyD=ddy^2(y)f(x,y)dx说明：这是介:/(ay)＞0的条件下得到的计算

4、公式，但是对于一般的情况这个公式依然成立.当/(义，＞’)在£)上变号时，由于/（义，y）=/（X，｝Q+

5、/（x，y）

6、2记fi^y）=f^f^/2（x參I恥）1-恥）则ZU，）0,/2（X，y）在D上非负，Z（X，y），/2（X，y）在D上可以应用上面的公式计算.于是JJ/U，y}dxdy=y）dxdy-^f2（x,y）dxdy1.例题应用所围成的闭K域.例1.计算If,其中£＞是抛物线f=x及直线=D解：把D看成Y-型区域（图6）,则D:y2看成X-

7、型区域(阁7),则D.A-^;(2)画出草图;(3)将D改写为

8、另一•类型的不等式组，交换积分次序。例题反思：化二重积分为二次积分吋，为了计算简便，崙要选择恰当的二次积分次序。这吋,既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数的特性。小结直角华标系卜'计算二重积分的步骤：、画出积分区域Z)、选择积分次序(依椐：容易积分；分块少)三、定积分限，定外限——域边两线夹(是常数)定内限——域屮一线穿若£>为X-型区域:左右夹，从下向上穿若D为Y-型区域：上下夹，从左昀右穿D:(p}(x)