立体几何初步1.7简单几何体的面积和体积1.7.2柱、锥、台的体积学案北师大版必修2

《立体几何初步1.7简单几何体的面积和体积1.7.2柱、锥、台的体积学案北师大版必修2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、7.2　柱、锥、台的体积1.理解棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积公式.(重点)2.熟练运用体积公式求多面体和旋转体的体积.(难点)[基础·初探]教材整理　柱、锥、台的体积阅读教材P46“练习”以下至P48“例5”以上部分，完成下列问题.几何体体积说明柱体V柱体＝ShS为柱体的底面积，h为柱体的高锥体V锥体＝ShS为锥体的底面积，h为锥体的高台体V台体＝(S上＋＋S下)·hS上，S下分别为台体的上、下底面积，h为高直角三角形两直角边AB＝3，AC＝4，以AB为轴旋转所得的几何体的体积为(　　)A.12πB.16π　　　C.20π　D.24π【解

2、析】　旋转后的几何体为以AC＝4为底面半径，以3为高的圆锥，V＝πr2h＝π×42×3＝16π.【答案】　B[小组合作型]柱体的体积　如图1714①是一个水平放置的正三棱柱ABCA1B1C1，D是棱BC的中点.正三棱柱的主视图如图1714②.求正三棱柱ABCA1B1C1的体积.8图1714【精彩点拨】　先利用主视图中的数据确定出正三棱柱底面边长及侧棱长，再代入柱体的体积公式求解.【自主解答】　由三视图可知：在正三棱柱中，AD＝，AA1＝3，从而在底面即等边△ABC中，AB＝＝＝2，所以正三棱柱的体积V＝Sh＝×BC×AD×AA1＝×2××3＝3.计算

3、柱体体积的关键及常用技巧：(1)计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高.(2)常用技巧：①充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，构造直角三角形，从而计算出底面积和高.②由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与柱体是几棱柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积通过作垂直于侧棱的截面转化成求直棱柱的体积.[再练一题]1.一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比.【导学号：39292050】【解】　设正方体边长为a，圆柱高为h，底面半径为r，则有由①得r＝a，由②得πrh＝2a2，∴V圆柱＝

4、πr2h＝a3，∴V正方体∶V圆柱＝a3∶＝∶1＝∶2.8锥体的体积　一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥体积.【精彩点拨】　已知底面边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面积和高，再根据体积公式求出其体积.【自主解答】　如图所示，正三棱锥SABC.设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高.连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AH⊥BC.∵△ABC是边长为6的正三角形，∴AE＝×6＝3，∴AH＝AE＝2.在△ABC中，S△ABC＝BC·AE＝×6×3＝9.在Rt△SHA中，SA＝，AH＝2，∴SH＝＝＝，∴V

5、正三棱锥＝S△ABC·SH＝×9×＝9.三棱锥的任一个面都可作为三棱锥的底面.求体积时，要选择适当的底面和高，然后应用公式V＝Sh进行计算即可.[再练一题]2.如图1715，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高.若AB＝，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥PABCD的体积.图1715【解】　因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB＝，所以HA＝HB＝.因为∠APB＝∠ADB＝60°，所以PA＝PB＝，HD＝HC＝tan30°＝1.8可得PH＝＝，等腰梯形ABCD的面积为S＝AC×BD＝

6、2＋.所以四棱锥的体积为V＝×(2＋)×＝.[探究共研型]台体的体积探究1　如图1716，三棱柱ABCA1B1C1中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1，V2的两部分，能否求出几何体AEF－A1B1C1的体积V1?图1716【提示】　能.几何体AEF－A1B1C1为三棱台，设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.因为E，F分别为AB，AC的中点，所以S△AEF＝S，V1＝h＝Sh.探究2　在上述问题中，V1∶V2的值是多少？【提示】　V2＝Sh－V1＝Sh，故V1∶V2＝7∶5.　如图1

7、717，圆台高为3，轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台的体积.图1717【精彩点拨】　求圆台的体积，关键是作出轴截面，并根据条件，求出两底面半径，代入公式求解.【自主解答】　设上、下底面半径分别为r，R.∵A1D＝3，∠A1AB＝60°，∴AD＝＝，∴R－r＝，BD＝A1D·tan60°＝3，∴R＋r＝3，∴R＝2，r＝，h＝3，8∴V圆台＝π(R2＋Rr＋r2)h＝π×[(2)2＋2×＋()2]×3＝21π.求台体的体积，其关键在于求上、下底面的面积和高，一般地棱台常把高放在直角梯形中去求解，若是圆台

8、则把高放在等腰梯形中求解.“还台为锥”是求解台体问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题