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《【数学与应用数学】论文——玻璃杯移动问题的数学模型》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、玻璃杯移动问题的数学模型[摘要]：本文通过对各种玻璃杯移动问题进行了分析,找出了如何简单的解决这一类的模型.我们对“每次只能一块儿移动一对相邻的杯子”、“杯子的颜色为黑白两种,要是相邻的杯子是这两种颜色,则移动它们时,要交换位置.”、“某种颜色的杯子有只，另一种杯子有只”以及三种颜色的杯子是如何移动的，一一给出解答，得出了对于只杯子有大于一定数值下的移动次数，并得到定理1、定理2等.由本文的定理2可以把各类玻璃杯的移动进行解答，轻松的找到移动的方法，解答了多种不同的移动方法的可解性.虽然这一模型所得的不一定是最少的移动次数，但给出了解决这一大类型问题的一般解法.关键词：玻璃杯；
2、移动方法；交错排列；1问题的提出对于杯子的移动问题，自古以来都有着许许多多的不同移动方法，简单的如将10只玻璃杯，左边5只内有汽水，右边5只空着，你如何以最少的移动次数将这排杯子变成满杯与空杯相互交错.还有困难的多的古典难题：每次只能一块儿移动一对相邻的杯子，使结果成交错排列.它们的普遍解是什么呢？能否将时的解题过程公式化.由这一难题还可以产生许多奇异的变相问题，如下面的几个问：(1)仍然是同时移动两只相邻的杯子，但是如果颜色不同则要在移动过程中交换位置，这样一对黑白的杯子就变成了一对白黑排列，请找出它的普遍解.(2)某种颜色的杯子少一只，即某种颜色的杯子有只，又有何不同.(3
3、)使用三种不同颜色的杯子，按照通常的方法移动一对相邻的杯子，使得所有这三种颜色交相辉映，有何普遍解？2模型的假设(1)在移动过程中,不能交换相邻的杯子.(2)一对杯子一次的移动后,原来的两个位置应该是空的.(3)一种颜色的杯子数为只,另一种颜色的杯子即为只3问题的分析题目给出了几种移动方案，我们要对这几种(特别是前面的情况)进行分析，求出它们的相同点，加以归纳.如一般的模型我们有定理1，对“每次只能一块儿移动一对相邻的杯子”我们得到了定理2，即当对杯子时（），可以在次内把这一模型移完等等.这些都是通过我们对多种移动方案所总结出来的，对问题的解答有着一定的作用.4模型的建立与求解
4、下面我们来逐步的对问题进行求解，对于简单的“一排有10只玻璃杯，左边5只内有汽水，右边5只空着”问题，我们可以将其扩展为这样的模型：有只杯子，只满杯挨着只空杯，若要使其变成满杯和空杯交错排列，需如何移动.对于这个简单的问题我们有：定理1：一般地，如果有只杯子，只满杯，只空杯，需要：（1）如果为奇数,则将对杯子互换位置,方法是号杯子与号杯子互换位置即可;（2）如果为偶数,则将对杯子互换位置,方法是号杯子与号杯子互换位置即可.就可以将它们变成交错排列,(其中)103证明:对于为奇数.┅┅如图可知,当将与号杯子互换,总共对,可使结果成交错排列.同样的,对于为偶数┅┅可知将与号杯子互换
5、,总共对,可使结果成交错排列.证毕.下面我们来看看对于:“每次只能一块儿移动一对相邻的杯子.”这一问题.以为例,解题过程如下图所示:123456只要移动3次即可完成要求.而对时,没有意义,时,无解.当时,可得到如下移动.由以下分析,为了更容易的求出杯子的移动次数,我们有这样的定理:定理2:对于对两种颜色的杯子,如果从左右各有只同样颜色的杯子,移动到交错排列有次,则反过来,从交错排列到左右同色的移动也要次.这一定理是很明显的,我们用上一个例子来说明,见下图即可知是成立的,无需证明.103由定理2,以后在求解各类移动问题时,都可以将其步骤相反过来解答.现在我们只要在的基础上再加上4
6、次移动就可以得到的移法，即只要将多出的一对杯子先放到一边（先完成的移动），再将靠近中间的同一种颜色的两只杯子（不管是哪一种颜色的杯子）放到同一种颜色的最边上，将多出的一对杯子代换它的位置，就可以得到了的移法，总的要多加3次移动.所以对的模型都可以在的基础上再移动3次来做到.于是：当对杯子时（），可以在次内把这一模型移完.通过以上问题的分析和定理,我们开始解决提出的几个变相问题:(1)假设杯子的颜色为黑白两种,要是相邻的杯子是这两种颜色,则移动它们时,要交换位置.当有一对杯子时,无意义;当有两对杯子时,要移动三次当有三对杯子时,要移动五次,且只需在两对杯子的基础上加上两步.当有四
7、对杯子时,可以移动五次,但如果用两次两对杯子的称动方法,是需要移动六次.由此我们可以总结出这一类的模型是可以解的,每一个移动方式都可以用的移动来完成后面的模型.用前面所推导的方法，同样可以解决这一问题.当时，也只需在的基础上再移动3次，就能得到所解决方法.于是：当有对杯子时，可以在次内把这一模型移完.(2)“某种颜色的杯子有只，另一种杯子有只”的移动方法.当时,须移动1次.当时,须移动3次.我们用时的结果再进行推导,有这样的移动:当时,须移动4次.103但当我们用到的模型来推导时就要移动5次
