2018年高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题1三角函数与平面向量突破点3平面向量学案文

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1、突破点3　平面向量[核心知识提炼]提炼1平面向量共线、垂直的两个充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.提炼2数量积常见的三种应用已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)证明向量垂直：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(2)求向量的长度：

2、a

3、＝＝.(3)求向量的夹角：cos〈a，b〉＝＝.提炼3平面向量解题中应熟知的常用结论(1)A，B，C三点共线的充要条件是存在实数λ，μ，有＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.(2)C是线段

4、AB中点的充要条件是＝(＋)．(3)G是△ABC的重心的充要条件为＋＋＝0，若△ABC的三个顶点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心坐标为.(4)·＝·＝·⇔P为△ABC的垂心．(5)非零向量a，b垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔

5、a＋b

6、＝

7、a－b

8、⇔x1x2＋y1y2＝0.(6)向量b在a的方向上的投影为

9、b

10、cosθ＝，向量a在b的方向上的投影为

11、a

12、cosθ＝.[高考真题回访]回访1　平面向量的线性运算1．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)7A．(－7，－

13、4)　　　　　　B．(7,4)C．(－1,4)D．(1,4)A　[设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以从而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.]2．(2014·全国卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)A.B.C.D.C　[如图，＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)＝·2＝.]回访2　平面向量的数量积3．(2015·全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　)A．－1　　B．0C.1　　D．2C　[法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，从而(2

14、a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.]4．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.7　[∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，7∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)．又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.]5．(2013·全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－

15、t)b，若b·c＝0，则t＝________.2　[

16、a

17、＝

18、b

19、＝1，〈a，b〉＝60°.∵c＝ta＋(1－t)b，∴b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝t×1×1×＋(1－t)×1＝＋1－t＝1－.∵b·c＝0，∴1－＝0，∴t＝2.]回访3　数量积的综合应用6．(2012·全国卷)已知向量a，b夹角为45°，且

20、a

21、＝1，

22、2a－b

23、＝，则

24、b

25、＝________.3　[∵a，b的夹角为45°，

26、a

27、＝1，∴a·b＝

28、a

29、·

30、b

31、cos45°＝

32、b

33、，

34、2a－b

35、2＝4－4×

36、b

37、＋

38、b

39、2＝10，∴

40、b

41、＝3.]热点题型1　平面向量的运算题型分析：该热点是高考的必

42、考点之一，考查方式主要体现在以下两个方面：一是以平面图形为载体考查向量的线性运算；二是以向量的共线与垂直为切入点，考查向量的夹角、模等．【例1】(1)(2017·衡水模拟)已知平面向量m，n的夹角为，且

43、m

44、＝，

45、n

46、＝2，在△ABC中，＝2m＋2n，＝2m－6n，D为BC的中点，则

47、

48、＝(　　)A．2　　　B．4　　　7C．6　　　D．8(2)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)【导学号：04024046】A．－B.C.D.(1)A　(2)B　[(1)由题意得＝(＋)＝2(m－

49、n)，所以

50、

51、＝2＝2＝2＝2，故选A.(2)如图所示，＝＋.又D，E分别为AB，BC的中点，且DE＝2EF，所以＝，＝＋＝，所以＝＋.又＝－，则·＝·(－)＝·－2＋2－·＝2－2－·.又

52、

53、＝

54、

55、＝1，∠BAC＝60°，7故·＝－－×1×1×＝.故选B.][方法指津]1．平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．2．正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用．提醒：运算两平面向量的数量积时，务必要注意两向量