中考数学压轴题专项汇编专题3函数图象的公共点

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1、专题3函数图象的公共点破解策略根据公共点的个数，求待定系数的取值范围的一般步骤为：（1）画图．（2）确定待定系数所在位置，明确图象的变化趋势．例如：①直线y＝2x＋b．其中待定系数是b．则直线y＝2x＋b与直线y＝2x是平行或重合的；②直线y＝kx－1，其中待定系数是k，则直线y＝kx－1是绕着固定点（0，－l）旋转的；③抛物线y＝ax2＋5．其中待定系数是a，则该抛物线的顶点是固定的，开口大小和方向是变化的；④抛物线y＝x2＋bx＋c，其中待定系数是b，c．则可将一般式化为顶点式，再将抛物线y＝x2上下左右平移得到．（3）找临界点，

2、例题讲解例1若二次函数y＝x2－x－1的图象与y轴的交点为A．过点A作直线l∥x轴．将抛物线在y轴左侧部分沿直线l翻折，其余部分保持不变．得到一个新图象，直线y＝x＋b与新图象只有一个公共点p（x0，y0），且y0≤7，求b的取值范围．解：当直线y＝x＋b经过点（0，－1）时，得b＝－l，当直线与原抛物线只有一个交点时，令x2－x－1＝x＋b，整理得x2－3x－3－3b＝0．则△＝9＋4（3＋3b）＝0，即b＝－；当x2－x－1＝7时，解得x1＝6，x2＝－4（舍），将（6，7）代入直线y＝x＋b，得b＝5．结合函数图象，可得当－l＜

3、b≤5或b＜时，直线与新图象只有一个公共点．例2若二次函数y＝－x2＋2x＋3的图象与x轴交于A，B两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折·其余部分保持不变，得到一个新图象．当直线y＝kx＋3与新图象恰有三个公共点时，求k的值．解：当直线y＝kx＋3经过点A（－1，0）时，得k＝3;当直线y＝kx＋3经过点B（3，0）时，得k＝－1；当直线与原抛物线只有一个公共点时，令kx＋3＝－x2＋2x＋3，则△＝（k－2）2＝0．即k＝2．结合函数图象．可得当k＝－1，2或3时，直线y＝kx＋3与新图象恰有三个公共点．例3已知抛物线L：y＝－

4、（x－t）（x－t＋4）（常数t＞0）与双曲线y＝有个交点的横坐标为x0，且满足4≤x0≤6．通过L位置随t变化的过程，求出t的取值范围．解：如图，双曲线在4≤x0≤6时．1≤y0≤，所以L与双曲线在点C（4，）．D（6，1）之间的一段有个交点，圆为抛物线与x轴的两个交点为（t，0）．（t－4，0）（t－4＜t），所以（t，0）在（t－4，0）的右侧．由＝－（x－t）（x－t＋4），x＝4．得t1＝5．t2＝7，由1＝－（x－t）（x－t＋4）．x＝6，得t3＝8－，t4＝8＋．因为5＜8－＜7＜8＋，所以当t＝5时，L右侧过点C；当

5、t＝8－时，L右侧过点D；当t＝7时．L左侧过点C；当t＝8＋时．L左侧过点D;所以5≤t≤8－，或7≤t≤8＋例4定义：对于给定的两个函数，任取自变量．x的一个值．当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数，例如：一次函数y＝－x－1，它的相关函数为y＝在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（，1）．（，1）．连结MN．求线段MN与二次函数y＝－x2＋4x＋n的相关函数的图象有两个公共点时，n的取值范围．解由题意可得，二次函数y＝－x2＋4x＋n的相关函数为：①当相关

6、函数的图象经过点（2，1）时，如图，此时n＋4＝1．即n＝－3;②当相关函教的图形经过点（0，－1）时，如图，此时n＝－1;③当相关函数的图形经过点（0，1）时，如图，此时n＝1；④当相关函数的图形经过点（，1）时．如图，此时（）2－4×（）－n＝1，解得n＝．结合函数图象，满足题意的n的取值范围为－3＜n≤－1或1＜n≤．例5在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx＋2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，点C，D在x轴上（点C在点D的左侧），且点B的距离都为2，若抛物线与线段BC有两个公共点，结合函数图象，求

7、m的取值范围．解：因为抛物线y＝mx2－2mx＋2＝m（x－1）2＋2－m，所以抛物线的顶点为（1，2－m），对称轴为x＝1，点A（0，2），所以点B的坐标为（1，0），从而点C（－1，0），D（3，0）．①若m＞0，如图1．当顶点（1，2－m）位于x轴下方时，抛物线与CD有两个交点．所以2－m＜0，即m＞2．②若m＜0，如图2．若抛物线经过点C，D，则m＋2m＋2＝0，即m＝－．当m≤－时，抛物线与CD有两个交点．综上所述，m的取值范围为m＞2或m≤－．进阶训练1．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x－3与y轴交于点A，点A与点B

8、关于x轴对称，过点B作y轴的垂线l，直线l与直线y＝2x－3交于点C，如果抛物线y＝nx2－4nx＋5n（n＞0）与线段BC有唯一公共点，求n的取值范围．【答案】≤n＜或n＝3．【提示】如图，根据题意可得B（0，3），C