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《（全国版）2019版高考数学一轮复习第4章平面向量第2讲平面向量的基本定理及坐标表示学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2讲 平面向量的基本定理及坐标表示板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，称e1，e2为基底．若e1，e2互相垂直，则称这个基底为正交基底；若e1，e2分别为与x轴，y轴方向相同的两个单位向量，则称单位正交基底．考点2 平面向量的坐标表示在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝
2、xi＋yj，(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．考点3 平面向量的坐标运算1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，
3、a
4、＝.2．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
5、
6、＝.考点4 平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0；(2)若a≠0，则
7、与a平行的单位向量为±.[必会结论]1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.2．已知＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.以上三个条件任取两两组合，都可以得出第三个条件且λ＋μ＝1常被当作隐含条件运用．3．平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝
8、μ2.( )(3)在等边三角形ABC中，向量与的夹角为60°.( )(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2．[2018·郑州一模]设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，若a，b方向相反，则实数x的值是( )A．0B．±2C．2D．－2答案 D解析 由题意可得a∥b，所以x2＝4，解得x＝－2或2，又a，b方向相反，所以x＝－2.故选D.3．[课本改编]已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，则点
9、B的坐标为( )A．(7,4)B．(7,14)C．(5,4)D．(5,14)答案 D解析 设点B的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－5)．由＝3a，得解得故选D.4．[2017·山东高考]已知向量a＝(2,6)，b＝(－1，λ)．若a∥b，则λ＝________.答案 －3解析 ∵a∥b，∴2λ－6×(－1)＝0，解得λ＝－3.5．[2015·江苏高考]已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．答案 －3解析 ∵ma＋nb＝(2
10、m＋n，m－2n)＝(9，－8)，∴∴∴m－n＝2－5＝－3.板块二 典例探究·考向突破考向 平面向量基本定理的应用例 1 [2018·许昌联考]在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为a，b，则＝( )A.a－bB.a＋bC．－a＋bD．－a－b答案 B解析 如图，设＝λ，＝μ.而＝＋＝－b＋λ＝－b＋λ，＝μ＝μ.因此，μ＝－b＋λ.由于a，b不共线，因此由平面向量的基本定理，得解之得λ＝，μ＝.故＝λ＝λ＝a＋b.故选B.触类旁通应用平面向量基本定理表示向量
11、的方法应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止；(2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．【变式训练1】 如图，已知▱ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.解 设＝x，＝y，则＝x，＝－y.由＋＝，＋＝，得①＋②×(－2)，得x－2x＝e1－2e2，即x＝－(e1－2e2)＝－e1
12、＋e2，∴＝－e1＋e2.同理可得y＝(－2e1＋e2)，即＝－e1＋e2.考向 平面向量的坐标表示例 2 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标．解 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8
