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1、09级二期期末A卷试题参考解答完成以下共14题,除最后两题各8分外其余各题各7分.一.求一阶常微分方程满足初始条件的解.解代入初始条件C=－2,于是,所求方程满足初始条件的解为二.计算二重积分其中为圆域解三.验证数项级数收敛,并求其和.解四.若函数解一.计算曲线积分其中C是圆周的上半部分,方向从点解于是由于故积分和路径无关,于是22六.求解一阶常微分方程:解令则原方程化为即(*)这是一个一阶线性方程.对应的齐次线性方程为分离变量,得即下面用常数变易法,令则代入原方程,得即于是得方程(*)的解为故
2、原方程的解为七.求解二阶非齐次方程的初值问题:解原方程可化为两个二阶非齐次方程…①和…②它们对应的齐次方程都是特征方程为通解为对方程①，设特解为代入后的C=1；对方程②，因1不是特征根，故设特解为代入方程得由此得于是得原方程的通解为由定解条件：故本初值问题的解为八.计算曲面积分其中S为锥面取外侧.解如图，记并设曲面所围区域为Ω，由高斯定理因此又故九.若函数求证:⑴函数在区间[0,+∞)上有连续的导数;⑵广义积分发散.解⑴而级数均收敛，由M判别法，函数项级数在区间[0,+∞)上一致收敛，于是在区间
3、[0,+∞)上有连续的导数.且⑵即广义积分发散.证毕十.求幂级数的收敛半径,收敛域及和函数.解令原级数为.记则由于当时,数项级数满足莱布尼兹判别法条件,从而收敛,故原幂级数的收敛区域为[－1,1].下面来求和函数.记则于是即十一.把函数展开成的幂级数,并求其收敛域.解令则收敛域为十二.验证瑕积分收敛,并求其值.解x=1为瑕点,而.故瑕积分收敛,且其值为=4.十三.若讨论瑕积分的敛散性.解令当都能够发散.当积分一致有界:由Drichlet判别法,积分收敛.下面讨论绝对收敛性:当当而积分收敛,由比较
4、判别法,广义积分绝对收敛;当但由于此时广义积分收敛,而广义积分发散,于是广义积分发散,即广义积分条件收敛.十四.设在区间[0,+∞)上单调递增且(1)求证:级数收敛并求其和;(2)若函数求证:级数也收敛.证⑴因故因此级数收敛,其和为S=2.⑵由于在区间[0,+∞)上单调递增,故级数为正项级数.因故在此区间单调递减,而由拉格朗日中值定理,在区间(n－1,n)内,必有,使得由于收敛,由正项级数的比较判别法,级数收敛.
