高考数学一轮总复习 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系教案 理 新人教a版

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1、8.4直线与圆、圆与圆的位置关系典例精析题型一　直线与圆的位置关系的判断【例1】已知圆的方程x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，(1)直线与圆有两个公共点；(2)直线与圆只有一个公共点.【解析】方法一：(几何法)设圆心O(0,0)到直线y＝x＋b的距离为d，d＝＝，半径r＝.当d＜r时，直线与圆相交，＜，－2＜b＜2，所以当－2＜b＜2时，直线与圆有两个公共点.当d＝r时，直线与圆相切，＝，b＝±2，所以当b＝±2时，直线与圆只有一个公共点.方法二：(代数法)联立两个方程得方程组消去y得2x2＋2bx＋b2－2＝0，Δ＝16－4b2.当Δ＞0，即－2＜b＜2时，有两

2、个公共点；当Δ＝0，即b＝±2时，有一个公共点.【点拨】解决直线与圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合思想，既要运用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系数法运用直线方程中的基本关系，养成勤画图的良好习惯.【变式训练1】圆2x2＋2y2＝1与直线xsinθ＋y－1＝0(θ∈R，θ≠kπ＋，k∈Z)的位置关系是(　　)A.相离B.相切C.相交D.不能确定【解析】选A.易知圆的半径r＝，设圆心到直线的距离为d，则d＝.因为θ≠＋kπ，k∈Z.所以0≤sin2θ＜1，所以＜d≤1，即d＞r，所以直线与圆相离.题型二　圆与圆的位置关系的应用【例2】如果圆C：(x－a)2＋(y－a

3、)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，求实数a的取值范围.【解析】到原点的距离等于1的点在单位圆O：x2＋y2＝1上.当圆C与圆O有两个公共点时，符合题意，故应满足2－1＜

4、OC

5、＜2＋1，所以1＜＜3，即＜

6、a

7、＜，所以－＜a＜－或＜a＜为所求a的范围.【变式训练2】两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为　　　　　.【解析】由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为(－1,1)，(2，－2)，则过它们圆心的直线方程为＝，即y＝－x.根据圆的几何性质可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称.

8、故由P(1,2)可得它关于直线y＝－x的对称点，即点Q的坐标为(－2，－1).题型三　圆的弦长、中点弦的问题【例3】已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；(2)求圆C内过点P的弦的中点的轨迹方程.【解析】(1)如图，AB＝4，D是AB的中点，则AD＝2，AC＝4，在Rt△ADC中，可得CD＝2.设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C到直线的距离公式＝2，得k＝，此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时的方程为x＝0.所

9、以所求直线为x＝0或3x－4y＋20＝0.(也可以用弦长公式求解)(2)设圆C上过点P的弦的中点为D(x，y)，因为CD⊥PD，所以＝0，即(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，化简得轨迹方程x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.【点拨】在研究与弦的中点有关问题时，注意运用“平方差法”，即设弦AB两端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为(x0，y0)，由得k＝＝－＝－.该法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题.【变式训练3】已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)

10、A.10B.20C.30D.40【解析】选B.圆的方程化成标准方程(x－3)2＋(y－4)2＝25，过点(3,5)的最长弦为AC＝10，最短弦为BD＝2＝4，S＝AC·BD＝20.总结提高1.解决直线与圆、圆与圆的位置关系有代数法和几何法两种，用几何法解题时要注意抓住圆的几何特征，因此常常要比代数法简捷.例如，求圆的弦长公式比较复杂，利用l＝2(R表示圆的半径，d表示弦心距)求弦长比代数法要简便.2.处理直线与圆，圆与圆的位置关系，要全面地考查各种位置关系，防止漏解，如设切线为点斜式，要考虑斜率不存在的情况是否合题意，两圆相切应考虑外切和内切两种情况.3.处理直线与圆的位置关

11、系时，特别是有关交点问题时，为避免计算量过大，常采用“设而不求”的方法.