《无阻尼自由振动》word版

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1、第二章单自由度系统的自由振动第一节导引单自由度系统（Single-Degree-Freedomsystems）是最简单的振动系统，又是最基本的振动系统。这种系统在振动分析中的重要性，一方面在于很多实际问题都可以简化为单自由度系统来处理，从而可直接利用对这种系统的研究成果来解决问题；另一方面在于单自由度系统具有一般振动系统的一些基本特性，实际上，它是对多自由度系统、连续系统进行振动分析的基础。所研究的振动都是微幅振动问题（微振动）。所谓微振动是指系统受到外界干扰后，系统各个质点偏离静平衡位置，仅作微小的往复振动。系统在振动过程中所受到的各种力将认为只与位移、速度等成线性关系，可以忽略可能出现的高

2、阶微小量。例如单摆，其运动微分方程为把单摆作为线性系统研究，则令故有19第二节无阻尼自由振动的运动微分方程及其解自由振动（freevibration）是指在外界干扰下依靠系统本身的弹性恢复力所维持的振动。一、运动方程及其解最简单的单自由度振动系统-----有一个质量和一根弹簧（弹簧的刚度系数为，它是弹簧每伸长或缩短一个单位长度所需施加的力，单位为）组成的弹簧质量系统。弹簧原长为。当系统在没有振动时，系统处于平衡状态，称为静平衡。此时，系统在重力的作用下产生拉伸变形，称为系统的静变形。由静力平衡条件有当系统受到外界某种初始扰动（例如用力将质量块偏离静平衡位置后突然释放，或给质量块以突然一击使之得

3、到一个初始速度），使系统的静平衡状态遭到破坏，则弹簧力不再与重力平衡，从而产生不平衡的弹性恢复力，系统就依靠这种弹性恢复力在其静平衡位置做往复运动，称为自由振动。19建立坐标系：取静平衡位置为坐标原点，用表示质量块由静平衡位置算起的垂直位移，且规定方向向下为正。质量块在振动过程中任一瞬时位置的受力：不变的重力：弹簧力：根据牛顿运动定律，有则有（2-1）单自由度无阻尼系统自由振动的运动方程。两点讨论：（1）质量块的重力只对弹簧的静变形有影响，即的大小只改变质量块的静平衡位置，而不影响质量块在静平衡位置附近作振动的规律。因此，当取静平衡位置为坐标原点建立运动微分方程时，在方程式（2-1）中就没有重

4、力项，同时也没有由静变形引起的弹簧力这一项。（2）方程式（2-1）中称为弹性恢复力。它的大小和位移的大小成正比，方向始终与位移方向相反。因此，弹性恢复力的方向始终指向静平衡位置，这是弹性恢复力的一个特点。19令则方程（2-1）可写为（2-2）其通解为（2-3）式中为任意常数它由初始条件时和来确定。将初始条件代入方程中，得（2-4）它是由两个相同频率的简谐运动组成，称为系统对于初始条件为和的响应。经变换方程（2-4）该写为（2-5）-----自由振动的振幅（amplitude），它表示质量块离开静平衡位置的最大位移。-----初相位（initialphase）。由上式可见，振幅和相位都取决于初始

5、条件。这是自由振动的共同特点。19系统的固有圆频率（naturalcircularfrequency）系统的固有频率（naturalfrequency）系统的固有周期（period）固有频率和周期决定与系统本身的物理性质：质量和弹簧刚度，而与自由振动的初始条件无关。因此，一旦确定了系统的质量和弹簧刚度，则系统的固有频率就有一个确定的值。固有频率是振动系统的一个重要参数，是进行振动分析或动态结构设计必不可少的参数。注：方程（2-5）也可写成如下形式19例题1：一卷扬机，通过钢索和滑轮吊挂重物（如图a所示）。重物重量W=147000N，以v=0.025m/s等速下降。如突然制动，钢索上端突然停止。

6、这时钢索中的最大张力为多少？钢索弹簧常数为k=5782×103N/m。(a)(b)(c)注意：解题时各物理量的单位要统一。解：在正常工作时，重物以等速下降，系统处于静平衡状态，钢索的张力为T1=kΔ=W=147000N由于钢索是一弹性体，系统可表示为图（b）的形式。突然停止，把这一时刻作为事件的起点t=0，并以这一时刻重物静平衡的位置作为坐标原点，则系统可简化为图（c）的模型。系统的振动微分方程为19系统的固有频率为施加于系统的初始条件为代入，得A=0.00128(m)则由振动引起钢索中的动张力为T2=kA=7400.96(N)钢索中的最大张力为T=T1+T2=154400.96(N)19例题

7、2：有一弹簧-质量系统，如图所示。有一质量m从高度h处自由落下，落在质量m1上。假设为弹性碰撞，且没有反弹。试确定系统由此而发生的自由振动。（a）（b）（c）（d）注：图（c）是振动起始时刻；图（d）是振动系统的静平衡位置，也即系统坐标原点位置。解：以m与m1碰撞这一时刻，作为时间的起点。取质量m和m1与弹簧k形成的新系统的静平衡位置为坐标原点，如图（d）所示。质量m自由落下距离h，其速度为质量m