《构造辅助函数》word版

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1、构造辅助函数证明微分中值定理及应用孙冬雪（湖州师范学院030713班313000）摘要：构造辅助函数是证明中值命题的一种重要途径。本文给出了几种辅助函数的构造方法：微分方程法，常数K值法，几何直观法，原函数法，行列式法；并且举出具体例子加以说明。关键字：辅助函数，微分方程，微分中值定理ConstructingauxiliaryfunctiontoprovedifferentialmediantheoremanditscopplicationsSunDongXue（Classof030713HuzhouTeachersCollege313000）Abstract

2、:Constructingauxiliaryfunctionistheimportantmethodtoprovemediantheorem.Thispapergivesseveralwaysofconstructingauxiliaryfunction:Differentialequation,ConstantK,Geometrylaw,Primaryfunctionlaw,Determinantlaw;andGivessomespecificexamplestoillustratehowtoconstructing.Keywords:Auxiliaryfu

3、nction;Differentialequation;Differentialmediantheorem目录一：引言………………………………………………………………...第4页二：数学分析中三个中值定理........................................第4页三：五种方法构造辅助函数………………………………………………………第6页1：几何直观法…………………………………………………………………第6页2：行列式法…………………………………………………………………….第7页3：原函数法…………………………………………………………………

4、…第8页4：微分方程法…………………………………………………………………第10页5：常数值法…………………………………………………………………第13页四：结论……………………………………………………………………………第15页参考文献……………………………………………………………………………第15页致谢…………………………………………………………………………………第16页一:引言微分中值定理是应用导数的局部性质研究函数在区间上的整体性质的基本工具，在高等数学课程中占有十分重要的地位，是微分学的理论基础，这部分内容理论性强，抽象程度高，所谓中值命题是指涉及函数（包

5、括函数的一阶导数，二阶导数等）定义区间中值一些命题，实际上，高等数学中的一些定理，如：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理均可看做是中值命题。我们可以利用这些定理来证明其他的中值命题。在证明中值命题时，首先要构造辅助函数，尤其是证明诸如：“至少存在一点，使得其代数式成立”这样结论的题目，证明中，如果辅助函数构造得当，题目很容易证明，反之题目将很难解决。所以构造恰当的辅助函数是证明中值命题的关键，人们在探究辅助函数构造规律的教学实践中，总结出了很多有益的方法，比如常数值法，原函数法，行列式法，微分方程法等。根据命题形式的变化选择合适的方法并加以解决.下面我们以不同的

6、方法通过分析解决问题的途径。二:数学分析中三个中值定理定理1（Rolle中值定理）设函数满足条件⑴在闭区间[]上连续，⑵在开区间（）内可微，⑶，则至少存在一点xÎ()，使得我们先从几何角度分析定理的含意：条件(3)说明弦平行于轴；条件⑴、⑶表明曲线是平面上一条以两个同高度的点、为端点的连续曲线，⑵是说曲线在内处处有不平行于轴的切线；结论是说在开区间内部必至少有一点，使得曲线在该点的切线平行于轴，从而平行于弦.一句话，平面上一条以两个同高度的点为端点的连续曲线处处有不平行于轴的切线时，其线内至少有一点，其切线平行于x轴。定理2（Lagrange中值定理）设函数满

7、足条件⑴在闭区间[]上连续；⑵在开区间（）内可微，则至少存在一点(），使得.①我们也先从几何上看Lagrange定理的意义：①式右端是弦AB的斜率。定理是说，若平面上一条以、为端点的连续曲线在内处处有不平行于轴的切线，则在开区间内部必至少有一点，使得曲线在该点的切线平行于弦，即平行于两个端点与的连线（图3-2）.一句话，平面上以A、B为端点的连续曲线弧处处有不平行于轴的切线时，其线内至少有一点,其切线平行于弦AB。如果在Lagrange中值定理中增加函数在两端点值相等的条件则结论正是Rolle中值定理的结论。可见，Rolle中值定理是Lagrange中值定理的

8、特例，这又是一个先处理特殊后处理一般情